Урок геометрии в 11 классе (2 часа) Учитель математики: СОШ им.Жаксыгулова Таскалинского района ЗКО Ивакина Жанар Максимовна

Вписанная окружность Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон Радиусом окружности является перпендикуляр к сторонам многоугольника. r=S/p, S – площадь многоугольника, р -полупериметр Центр окружности является пересечение биссектрис внутренних углов многоугольника.

Для правильных многоугольников: радиус вписанной окружности a – сторона правильного многоугольника n – количество сторон Условие: В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, а в с d когда суммы длин его противоположных сторон равны а + в = с + d

Описанная окружность Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Центр окружности – пересечение серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника Радиус окружности вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного тремя вершинами данного многоугольника a, b, c – стороны треугольника, S - площадь треугольника

Для правильных многоугольников: радиус описанной окружности a – сторона правильного многоугольника n – количество сторон

A B D C Условие: около четырехугольник можно описать окружность тогда и только тогда, A + B = C + D = когда сумма его противоположных углов равна 180 0

Теорема Птолемея: Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон. AC*BD = AB*CD + BC*AD A C B D

Для прямоугольного треугольника О R=c/2, С - гипотенуза r=(a+b-c)/2, С – гипотенуза a и b - катеты R R R r r r

Сфера называется описанной около многогранника, если она проходит через все его вершины Какая сфера является описанной около многогранника ?

Описанный шар около куба о R = (а 3)/2 Куб d a a a D R=D/2 d 2 = a 2 + a 2 = 2 a 2 D=a 2 + d 2 = = a a 2 =3a 2

Описанный шар около призмы Около призмы можно описать шар тогда и только тогда, когда призма прямая и около её основания можно описать окружность O – центр описанного шара R – радиус описанного шара r – радиус описанной окружности около основания АВ = Н – высота призмы о R r R В А R 2 = r 2 + 0,25Н 2

Какая сфера называется вписанной в многогранник ? Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех плоскостей, содержащих грани многогранника во внутренних точках.

Сфера вписанная в куб r = 0,5a=0,5Н о а=Н a a a a a a r r

Вписанный шар в призму В призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда в перпендикулярное сечение призмы можно вписать окружность и диаметр окружности равен высоте призмы. R = r = 0,5H оR=r В А

Описанная сфера около пирамиды Около пирамиды можно описать шар, если: 1.пирамида, все боковые ребра которой равны между собой 2. Около основания можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности. 3. Все ребра одинаково наклонены к основанию Центр описанного шара лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды.

R R O AC B D M F T MA=MB=MC=MD FA=FB=FC=FD; MF=H MF (ABCD) MT=TA, OT AM OM=OA=OD=OB=OC=R R-радиус описанного шара MFA ~ MTО Следовательно R=L 2 / (2H)