Производная и её применение

Математический анализ – это раздел математики, который изучает функции функции и все понятия, которые связаны с ними. В том числе и производную.

Математический анализ анализ появился более 300 лет назад назад когда в 1684г. 1684г. В одном из журналов, выходивших в Лейпциге, появилась статья Г. В. Лейбница Лейбница «Новый метод максимумов и минимумов, а так же касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления».

Готфрид Вильгельм Лейбниц ( )

Математика не была его единственной страстью. С юных лет ему хотелось познать природу в целом, и математика должна была стать решающим средством в этом познании. Он был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем.

Лейбниц мечтал об универсальном языке, позволяющем записывать любые мысли в виде математических формул, причем логические ошибки должны проявляться в виде математических ошибок. Он думал о машине, которая выводит теоремы из аксиом, о превращении логических утверждений в арифметические.

Лейбниц, узнав о разнообразных математических и механических задачах, решенных Гюйгенсом, Гюйгенсом, начинает понимать, что в решении этих разных задач спрятан общий, универсальный метод решения широкого круга задач. Лейбниц создает дифференциальное и интегральное исчисления, которые в другом варианте были построены, но не опубликованы И. Ньютоном

Исаак Ньютон ( )

Вторым основоположником математического анализа был И. Ньютон. Он тоже открыл понятие производной, но назвал ее по другому.

Ньютон открыл закон всемирного тяготения и приступил с его помощью к исследованию планет. Но что бы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создает общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных) и флюэнт, которые у Г.В. Лейбница назывались дифференциалами.

О дифференциальном и интегральном исчислениях ученый подробно пишет в своей самой значительной работе по математике «Метод флюксий» ( ), которая была опубликована уже после его смерти. В ней были заложены основы математического анализа.

В 1680г. Ньютон начинает работу над своим новым сочинением «Математические начала натуральной философии», в котором он задумал изложить свою систему мира. В «Началах» Ньютон чисто математически выводит все основные известные в то время факты механики земных и небесных тел, законы движения точки и твердого тела, кеплеровы законы движения планет.

Производная определяется для функции и обозначается y или f(x). f(x). С ее помощью можно находить скорость движения тела или точки. Также она характеризует изменение поведения функции на данном промежутке. Т. е. с помощью производной можно определить промежутки возрастания (убывания), точки максимума (минимума).

Производная помогает нам в построении графика данной функции. d c b a x y

C помощью производной можно определить является ли функция в данной точке непрерывной или терпит разрыв.Если в точке производная существует, существует, то она в этой точке непрерывна непрерывна (и наоборот). x y 0 x0x0

Существует исключение из этого правила. Для функции y=|x|, y=|x|, в точке x=0 производная не существует, но функция в этой точке непрерывна (т.е. определена) x y 0

Итак, с помощью производной можно найти скорость – это механический смысл производной. Существует геометрический смысл производной, который связан с понятием касательной, проведенной к графику функции в данной точке. x y 0 x0x0