Лекция 6. Физические системы и их математические модели В общем виде математическая модель такой системы может быть записана следующим образом: где – системный оператор, результатом воздействия которого на сигнал является. В общем случае входной и выходной сигналы представляются в виде и мерных векторов: Классификация физических систем на основе существенных свойств их математических моделей: стационарные и нестационарные системы; линейные и нелинейные системы; сосредоточенные и распределенные системы.

Физические системы и их математические модели Система называется стационарной, если ее выходная реакция не зависит от того, в какой момент времени поступает сигнал, то есть : при любом значении Стационарная система называется также системой с постоянными параметрами. Если же свойства системы не инвариантны относительно начала отсчета времени, то такую систему называют нестационарной (системой с переменными параметрами, или параметрической системой).

Физические системы и их математические модели Система называется линейной, если в ней выполняется принцип суперпозиции, математически записываемый в виде следующих равенств: Если эти условия не выполняются, то система является нелинейной. Строго говоря, все физические системы, используемые в измерительной технике, в той или иной степени не линейны. Однако существует много систем, которые весьма точно описываются линейными моделями. Из принципа суперпозиции и из условия стационарности вытекает важное следствие – гармонический сигнал, проходя через линейную стационарную систему, сохраняет свою форму, приобретая лишь другие амплитуду и начальную фазу.

Физические системы и их математические модели Сосредоточенные и распределенные системы. Критерием этой классификации является соотношение физических размеров элементов системы и рабочей длины волны генерируемых или транслируемых сигналов. Если характерный размер системы, то система относится к классу сосредоточенных. Свойства сосредоточенных систем слабо зависят от конфигурации соединительных проводников, поэтому для их описания используют так называемые принципиальные схемы. Так, в радиотехнике сосредоточенные системы широко применяют до рабочих частот в несколько сотен МГц. Лишь при частотах свыше тысячи МГц (СВЧ-диапазон) на смену сосредоточенным системам приходят системы с распределенными параметрами.

Физические системы и их математические модели Динамические характеристики линейных стационарных систем Дифференциальное уравнение линейной системы, описывающее связь между мгновенными значениями входного и выходного сигналов, имеет вид: Если динамическая система линейна и стационарна, то все коэффициенты этого уравнения и – постоянные вещественные числа. Порядок этого уравнения принято называть порядком динамической системы.

Физические системы и их математические модели Частотная характеристика линейной системы Введем коэффициент, определяемый как отношение преобразованных по Фурье выходного сигнала к входному : Коэффициент называют частотной характеристикой динамической системы или частотным коэффициентом передачи. Частотная характеристика динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно- рациональную функцию переменной.

Физические системы и их математические модели Частотная характеристика линейной системы Значения коэффициентов и определяются физическими свойствами и параметрами динамической системы, а их знание позволяет найти. При известном (регистрируемом) сигнале на выходе измерительной системы и известной частотной характеристике нетрудно получить с помощью обратного преобразования Фурье функцию, характеризующее входное воздействие на эту систему:

Физические системы и их математические модели Частотная характеристика линейной системы Частотную характеристику системы удобно представлять в форме: Модуль называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) системы, а аргумент – фазочастотной характеристикой (ФЧХ) системы. Записав, можно определить АЧХ и ФЧХ системы: Очевидно, что амплитудно-частотная характеристика системы является четной функцией частоты, а фазочастотная характеристика системы – нечетной функцией частоты.

Физические системы и их математические модели Физическая реализуемость систем Далеко не каждая функция может являться частотным коэффициентом передачи физически реализуемой системы. Простейшее ограничение связано с тем, что должна быть четной функцией частоты, то есть: Запишем без доказательства условие физической осуществимости системы в виде критерия Пэли-Винера: частотный коэффициент передачи физически реализуемой системы должен быть таким, чтобы существовал интеграл:

Физические системы и их математические модели Частотный коэффициент передачи многозвенной системы Для последовательно соединенных звеньев сложной измерительной системы (каскадное соединение) справедливо выражение: где частотные коэффициенты передачи отдельных звеньев ( ). Для параллельно соединенных звеньев можно записать: