Содержание 1. Определение 2. Свойства модуля 3. Уравнение вида |f(x)| = a 4. Уравнение вида |f(x)| = g(x) 5. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)| 6. Метод замены переменной 7. Метод разбиения на промежутки (по определению) 8. Уравнение вида |f(x)+g(x)| = |f(x)| + |g(x)| и 9. Уравнения вида |f(x)+g(x)| = f(x) + g(x)

Абсолютной величиной (или модулем) числа х называется само это число, если оно положительно или равно нулю, и противоположное число, если х отрицательно, то есть Геометрическая интерпретация модуля: число х равно расстоянию от начала координат до точки, изображающей на числовой оси число х, |x-a| – это расстояние от точки a до точки x на координатной оси. 1.Определение

2. Свойства модуля

Свойства модуля : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

а – заданное действительное число. При решении указанного уравнения могут возникать случаи: Если а0, и тогда уравнение равносильно совокупности уравнений: 3. Уравнение вида |f(x)| = a,

Решить уравнение. Решение. Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: х 1 =-6, х 2 =1, х 3 =-3, х 4 =-2. Ответ: -6;-3;-2;1

4. Уравнение вида |f(x)| = f(x)

5. Уравнение вида f(x)=g(x) 1 способ решения. Этот способ – применяется в том случае, когда функция g(x) проще, чем функция f(x).

Пример. Решите уравнение Ответ:

2 способ решения уравнения f(x)=g(x) Этот способ – применяется в том случае, когда функция f(x) проще, чем функция g(x). Уравнение равносильно совокупности двух систем:

Пример 2. Решить уравнение Решение. Пользуясь определением модуля, получаем, что данное уравнение равносильно совокупности двух систем: Ответ:

6. Уравнение вида f(x)=g(x) Так как обе части уравнения неотрицательны, то получаем следующее условие равносильности

Пример 4. Решите уравнение. Решение: Воспользуемся условием равносильности: Ответ:

Для решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, обычно используют следующие методы: 1) раскрытие модуля, исходя из определения; 2) возведение обеих частей уравнения в квадрат. 3) метод разбиения на промежутки (метод интервалов).

Третий способ освобождения от модуля – замена переменной.

Пример 5. Решить уравнение Решение. Если представить уравнение в виде, Так как обе части этого уравнения неотрицательны, то это уравнение равносильно следующему уравнению которое путем преобразований сводится к квадратному Ответ: -3; -3;.

Метод разбиения на промежутки применяется при решении уравнения вида:, где f i (x) (i=1,2,…,n), – заданные непрерывные функции переменной х. Метод разбиения на промежутки.

Алгоритм метода разбиения на промежутки 1) находят те значения переменной, при которых входящие в уравнение модули равны нулю; 2) область определения уравнения разбивают этими точками на промежутки; 3) на каждом из построенных промежутков определяют знак выражений, стоящих под знаком модуля; 4) на каждом промежутке раскрывают модуль и решают получаемое уравнение; 5) проверяют, принадлежат ли найденные решения уравнения рассматриваемому промежутку: если принадлежат, их включают в ответ, если нет – то отбрасывают.

Пример 3. Решите уравнение: |5-2x|+|x+3|=2-3x 5-2x=0; x+3=0 х=2,5; х=-3 (- ;-3)[-3;+2,5)[2,5;+ ) 5-2 х++- х+3-++ (- ;-3)[-3;+2,5)[2,5;+ ) 5-2 х-х х=0 0 х=0 х-любое число (- ;-3) 5-2x+x+3-2+3x=0 2 х=-6 х=-3 [-3;2,5) 2 х-5+х х=0 6 х=4; x=2/3 [2,5;+ ) Ответ: (- ;+3]

При возведении в квадрат появляются лишние корни, поэтому, надо найти ОДЗ и выявить принадлежат ли корни данному условию. Пример 4. Решите уравнение: |x+4|=2x-10. Возведем в квадрат обе части уравнения х 2 +8x+16=4x 2 -40x+100 3x 2 -48x+84=0 /3 х 2 -16x+28=0 х 1 =14, х 2 =2 Найдём ОДЗ: 2x-10 0; 2x 10 ; х 5. x 1 =14 [5;+ ), х 2 =2 [5;+ ) Ответ:14 Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Пример 6. Решите уравнение: х 2 -5|x|+6=0. Пусть |x |=t,тогда |x| 2 =x 2 =t 2,тогда уравнение примет вид: t 2 -5t+6=0 t 1 =2, |x |=2, x 1,2 = 2 3. Метод введения новой переменной t 2 =3, |x |=3, x 3,4 = 3 Ответ: 2, 3.

Пример 7. Решите уравнение: (x-2) 2 - 8|x-2|+15=0. Пусть |x-2|=t,|x-2| 2 =(x-2) 2 =t 2, тогда уравнение примет вид: t 2 -8t+15=0, D=16-15=1. t 1 =3, t 2 =5. t 1 =3, |x-2|=3, x 1 =5, x 2 =-1. t 2 =5, |x-2|=5, x 3 =7, x 4 =3. Ответ: -1; 3; 5; 7.

Уравнения вида

Пример 3. Решите уравнение: Перепишем уравнение в виде: Сумма модулей равна сумме под модульных выражений. Это возможно только в том случае, когда оба под модульных выражения неотрицательны:

Ответ:

Спасибо за внимание!

Разработка учителя математики ГБОУ СОШ 4 им. Жака-Ива Кусто Самариной Татьяны Константиновны