ОСНОВЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ Раздел 2. Математические основы программирования Представление чисел в ЭВМ Старший преподаватель Кафедры ВС, к.т.н. Поляков Артем Юрьевич

Рассматриваемые вопросы Представление целых чисел – представление целых без знака – представление знаковых целых Представление вещественных чисел – математическая основа представления вещественных чисел – современный стандарт представления вещественных чисел 2 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Представление чисел в ЭВМ Особенности представления чисел в ЭВМ: используется двоичная система счисления ограниченное количество разрядов в ЭВМ используется память, элементарная ячейка которой (бит) может иметь только 2 состояния (0 и 1). Поэтому отсутствует возможность хранить знаки: ( "+", "–" и "." ). 3 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Представление целых чисел без знака Пусть дана ячейка памяти, размер которой k бит. Существует 2 k всевозможных битовых наборов длины k. Следовательно, всего возможно представить 2 k различных чисел. Существует всего (2 k )! (количество перестановок из 2 k элементов) способов закодировать беззнаковые числа битовыми наборами. Среди всех теоретически возможных способов наиболее удобно использовать k-разрядную запись этого числа в двоичной системе счисления. Это позволяет естественным образом реализовать арифметические операции над числами. 4 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Представление целых чисел без знака (примеры) 5 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» = =

Представление знаковых целых Отрицательные числа могут быть представлены в ЭВМ несколькими способами, выбор одного из которых оказывает влияние на реализацию арифметических операций. Для представления знаковых целых чисел используются три способа: 1) прямой код; 2) обратный код; 3) дополнительный код. Далее будут рассмотрены каждый из способов для десятичной и двоичной систем счисления (СС). 6 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Прямой код (десятичная СС, 6 разрядов) Это наиболее очевидный и близкий к естественному способ записи чисел. Число формируется из одного знака и фиксированного количества разрядов (цифр), представляющих собой модуль числа. Например: © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Прямой код (двоичная СС, 8 бит) При формировании прямого кода в двоичной СС старший бит (разряд) используется для хранения знака: 0 ~ "+", 1 ~ "-". 8 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» = , = = , = знак

Обратный код (десятичная СС, 6 разрядов) Отрицательные числа также состоят из фиксированного числа разрядов и формируются путем дополнения каждого разряда до 9: – – 1 = – 2 = – 3 = – 4 = – 5 = – 6 = 3 – = – = © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Обратный код (двоичная СС, 8 бит) Обратный код отрицательного числа в двоичной СС формируется путем инвертирования каждого разряда, включая знак, на противоположный. 10 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» = , – = = , – = знак – 100 – 36

Обратный код (двоичная СС, 8 бит) Для формирования обратного кода также может использоваться подход, аналогичный приведенному для десятичной СС: 11 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» – = – =

Дополнительный код (десятичная СС, 6 разрядов) Отрицательные числа в дополнительном коде представляются следующим образом: – x = 0 – x = – x – 1 = 0 – 1 = – 1 = – = 0 – = – = Диапазон: до ( – ) 12 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Связь дополнительного и обратного кода (дес. СС, 6 разрядов) Дополнительный код – х = 0 – х = – х – 1 = 0 – 1 = – 1 = © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Обратный код – х = 0 – х = – х – 1 = 0 – 1 = – 1 = = + 1

Дополнительный код (двоичная СС, 8 бит) 14 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» = , = – = – = = – = – = = знак – 100 – 36

Сравнение различных представлений знаковых чисел (двоичная СС, 3 бит) 15 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Битовый набор Без знака Прямой код Обратный код Доп. код –0–3– –1–2– –2–1– –3–0–1

Сложение и вычитание целых чисел без знака Сложение и вычитание k-разрядных целых чисел без знака происходит по обычным для позиционных систем счисления правилам. Примеры (для k = 3): = ; = Ситуации, когда уменьшаемое меньше вычитаемого или когда результат суммы не умещается в k разрядов, считаются ошибочными и должны отслеживаться устройством компьютера. 16 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Обработка переполнения при сложении целых чисел без знака Если при сложении двух k-разрядных чисел возникает (k+1)-й разряд, то он будет отброшен. Пример (для k = 3): = = = = © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Сложение целых знаковых чисел в дополнительном коде Сложение k-разрядных знаковых чисел производится аналогично алгоритму для целых чисел без знака. Складываются все разряды, включая знаковый Если в результате сложения возникает (k+1)-й разряд, то он отбрасывается. Для k = 3: (1 10 ) = = => = © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Вычитание целых знаковых чисел в дополнительном коде При вычитании также используется аналогичный алгоритм, однако если уменьшаемое меньше вычитаемого, к двоичному коду уменьшаемого слева приписывается единица (т.е. добавляется 2 k ) и только после этого производится вычитание (такой способ называется вычитание по модулю 2 k ). Для k = 3: = => = = © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Сложение и вычитание по модулю 2 k 20 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Вещественные числа В памяти ЭВМ не предусмотрено специальных средств для запоминания десятичной точки. Существует два способа представить вещественное число в виде десятичной дроби: 1. Явно указав позицию запятой внутри числа: , ; 2. Научный, с помощью степени основания 10: *10 1, 0.98* © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Вещественные числа с фиксированной точкой Данное представление соответствует первому варианту записи вещественных чисел. Положение точки внутри байта (байтов) задается фиксировано, например: для хранения используется 1 байт, пусть биты с 0 по 4 – целая часть, а биты с 5 по 7 – дробная часть: © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Вещественные числа с фиксированной точкой (недостатки) 1) Малый диапазон значений. 2) Неэффективное использование памяти при работе только с малыми числами или только с большими числами. 23 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Вещественные числа с плавающей точкой p-разрядным числом с плавающей точкой по основанию b с избытком q называется пара величин (e, f), которой соответствует значение: ( e, f ) = f b (e – q) e – порядок – беззнаковое целое число, изменяющаяся в определенном промежутке. f – мантисса – знаковое вещественное число с фиксированной точкой, при этом: | f | < 1, т.е. разделяющая точка находится в крайней слева позиции 24 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Научная форма записи вещественных чисел Научная форма записи вещественных чисел позволяет представить одно и то же число множеством различных способов. Например, постоянная Планка h = может быть записана одним из следующих способов: 1) ) ) ) )… 25 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Нормализованная форма Представление информации в ЭВМ требует определенности, поэтому вещественные числа представляются в нормализованной форме. Число с плавающей точкой является нормализованным, если: 1) наиболее значимая цифра в представлении f отлична от нуля: 1/b | f | < 1 2) f = 0 и е принимает наименьшее возможное значение Например: 0.615, 0.101, 6.15, © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

p-разрядные нормализованные вещественные числа ( e, f ) = f b e-q В ЭВМ для хранения вещественных чисел отводится ограниченное число разрядов: –b p f b e-q b p Пример: рассмотрим следующий пример представления десятичных чисел: f – 8-разрядов, е – 2 разряда, избыток q = 50, основание b = 10. Число Авогадро: N = 6, = = ((24+50), ) = (74, ) Постоян. Планка: h = = = ((-26+50), ) = (24, ) 27 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»

Упаковка вещественных числа с одинарной точностью (тип float) 28 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» 0 Размер, выделяемый для хранения: 4 байта (32 бита) (e, f,s) = s1.f b e-q f: 23 бит; e: 8 бит; s: 1 бит, b = 2, q = – 1 = fes

Примеры вещественных чисел с одинарной точностью 29 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f,s) = s1.f b e-q Десятичное представление1 Двоичное представление Результат упаковки (hex)3f Двоичное представление f0 e =7F 16 = s0 (~ "+" ) ( 127, 0,0) = = + 1.0

Примеры вещественных чисел с одинарной точностью (2) 30 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f,s) = s1.f b e-q Десятичное представление-1 Двоичное представление Результат упаковки (hex)bf Двоичное представление f0 e =7F 16 = s 1 (~ " – " ) ( 127, 0,1) = – = – 1.0

Примеры вещественных чисел с одинарной точностью (3) 31 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f,s) = s1.f b e-q Десятичное представление0.5 Двоичное представление = Результат упаковки (hex)3f Двоичное представление f0 e =7E 16 = s 0 (~ " + " ) ( 126, 0,0) = = +0.5

Примеры вещественных чисел с одинарной точностью (4) 32 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f,s) = s1.f b e-q Десятичное представление Двоичное представление = Результат упаковки (hex)3d Двоичное представление f0 e =7B 16 = s 0 (~ " + " ) ( 127, 0,0) = = =

Перевод вещественных чисел из десятичной СС в двоичную СС 33 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Пусть дано десятичное вещественное число A 10 = A' 10. A'' 10 Необходимо: найти A 2 Решение: 1.Найти A' 2 из A' 10, используя алгоритм DB 1 перевода целых десятичных чисел в двоичные. 2.Найти A'' 2 из A'' 10, используя алгоритм DB 2 перевода дробных (

Алгоритм DB 1 34 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» n 10 i = 0, n 2 = 0, m = n 10 НАЧАЛО m > 0 n 2 = n 2 + (m mod 2) 0 делать n 2 = n 2 + (m mod 2)

Алгоритм DB 2 35 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» n 10 i = 0, n 2 = 0, m = n 10 НАЧАЛО m > 0 n 2 = n 2 0 делать n 2 = n 2

Представление числа © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» n 10 i = 0, n 2 = 0, m = n 10 НАЧАЛО m > 0 n 2 = n 2

Примеры вещественных чисел с одинарной точностью (5) 37 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f,s) = s1.f b e-q Десятичное представление0.3 Двоичное представление … Результат упаковки (hex)3e a Двоичное представление f e =7D 16 = s 0 (~ " + " ) ( 127, 0,0) = … = … 2 -2 = ….

Примеры вещественных чисел с одинарной точностью (6) 38 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f,s) = s1.f b e-q Десятичное представление5.3 Двоичное представление … Результат упаковки (hex)40 a9 99 9a Двоичное представление f e =81 16 = s 0 (~ " + " ) ( 127, 0,0) = … = … 2 2 = ….

Анализ внутреннего представления числа в типе float 39 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» = = = = , , , , , , , , , = = 5, , = 5,

Примеры вещественных чисел с одинарной точностью (7) 40 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f,s) = s1.f b e-q Десятичное представление5.1 Двоичное представление = … Результат упаковки (hex)40 a Двоичное представление f e =81 16 = s 0 (~ " + " ) ( 127, 0,0) = … = … 2 2 = ….

Анализ внутреннего представления числа в типе float 41 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» = = = = 5 + 0, , , , , , , , , , = 5,

Ошибки округления 42 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Технические средства не позволяют хранить числа, заданные бесконечными дробями Необходима замена любого числа конечной дробью, ограниченной доступным количеством разрядов. Данная операция называется округлением. Округлением числа x = ±d n …d s+1 d s d s–1 d s–2 до s разрядов в заданной СС называется его замена числом x s = ±d n …d s+1 d s, в котором разряды (s – 1), (s – 2), … являются нулевыми. Разность (x – x s ) называется ошибкой округления.

Способы округления 43 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» 1.Отбрасывание разрядов (s – 1), (s – 2),… как это реализовано для целых чисел. Достоинством данного подходя является простота реализации в аппаратуре. Недостатком служит то, что знак ошибки (x * x) всегда противоположен знаку x. 2.Округление по правилам, используемым в школе. Вещественные числа X i s, имеющие нулевые младшие разряды (s – 1), (s – 2), … располагаются на числовой оси с шагом b s, как показано на рисунке. При этом среди этих чисел есть число x *, которое наиболее близко к x и | x * x | b s X3sX3s X2sX2s X0sX0s X1sX1s X -1 s X -2 s x x*x* X -3 s …… b = 2, s = -2:

Примеры применения алгоритмов округления для числа © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Отбрасывание разрядов: 5.3 = = 5, = 5, , ,3 = 2.86 · Округление с использованием школьной арифметики 5.3 = = = = 5, = 5, , – 5,3 = 1.91 · 10 -7

Примеры применения алгоритмов округления для числа © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Отбрасывание разрядов: 5.1 = = 5, , ,1 = 0.95 · Округление с использованием школьной арифметики 5.1 = = 5, , ,1 = 0.95 · 10 -7

Машинный ноль 46 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f,s) = s1.f b e-q Десятичное представление0 Двоичное представление0 Результат упаковки (hex)00 00 Двоичное представление f e = = 0 10 s 0 (~ " + " ) ( 0, 0,0) = … = … =

Машинный ноль 47 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Число ω, для которого f = 0, мантисса m = 1.0, а порядок e принимает наименьшее значение (для float e = 0 => (e – q)= – 127) называется машинным нулем. Оно совпадает с минимальным положительным числом, которое может быть представлено числом с плавающей точкой при заданных размерностях f и e (для float размерность f – 23 бита, e – 8 бит). Любое число x < ω рассматривается как 0.

Погрешности измерений 48 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Абсолютная погрешность (Δх) разность между приближенным значением некоторой величины и ее точным значением: Δх = | x п – x т |, где x т – точное значение, а x п – приближенное. Относительная погрешность (δx) – погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины: δx = Δх/x п, δx = Δх/x т. δx является безразмерной величиной

Погрешность представления вещественных чисел 49 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» В отличие от чисел с фиксированной точкой, сетка чисел, которые способна отобразить арифметика с плавающей точкой, неравномерна: она более густая для чисел с малыми порядками и более редкая для чисел с большими порядками. Для чисел с фиксированной точкой постоянным является порядок абсолютной погрешности. Для чисел с плавающей точкой постоянным является порядок относительной погрешности.

Погрешности вещественных чисел с фиксированной точкой 50 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Рассмотрим 2-хразрядные числа с фиксированной точкой, один разряд отводится под целую часть, второй – под дробную. x 0.0 … … Δх 1 = | x п – x т | = | – 0.1 | = 0.023, порядок Δх 2 = | x п – x т | = | – 1.1 | = 0.023, порядок δx 1 = Δх/x п = 0.023/ , порядок δx 2 = Δх/x п = 0.023/ ,020, порядок 10 -2

Погрешности вещественных чисел с плавающей точкой 51 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Рассмотрим 2-хразрядные числа с плавающей точкой, один разряд отводится под мантиссу, второй – под порядок. x 0.0 … 0.1· · · · · · · ·10 9 Δх 1 = | x п – x т | = 0.023·10 -9, порядок Δх 2 = | x п – x т | = 0.023·10 9, порядок δx 1 = Δх/x п = 0.023·10 -9 / 0.123· , порядок δx 2 = Δх/x п = 0.023·10 9 / 0.123· , порядок 10 -1

Машинный эпсилон 52 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Машинным эпсилоном называется наименьшее положительное число ε такое, что 1 ε 1, где машинное сложение. Пример: Пусть даны два числа: a и b = a + γ. Если γ < a·ε, то с точки зрения машины a = b. a < a·(1 γ) < a·(1 ε) 1 γ = 1

Программа поиска машинного эпсилона 53 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» #include int main() { float e,e1; int k=0; e=1.0; do { e=e/2.0; e1=e+1.0; k++; } while (e1>1.0); printf("Число делений на 2: %d\n",k); printf("Машинный эпсилон: %e\n",e); return 0; } Результаты работы: Число делений на 2: 24 Машинный эпсилон: e-08

Алгоритм сложения чисел с плавающей точкой 54 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Задача: найти число ω = υ ν а : (2p + 1) разрядный аккумулятор 1ввод υ, ν 2 распаковать υ (e υ, ± f υ ) и ν (e ν, ± f ν ) 3 если e ν > e υ то υ ν (e ν e υ и f υ f ν ) конец если 4e ω = e υ 5 если (e υ e ν ) p + 2 то f ω = f υ 6иначе 7сдвиг f ν >> (e υ e ν ) => a = f ν /b (e υ e ν ) 8a = f υ + a, f ω = окр(a, p) 9конец если 10 нормализация (e ω, ± f ω ) и упаковка (e ω, ± f ω ) ω

Алгоритм нормализации чисел с плавающей точкой 55 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Задача: обеспечить для числа ω = (e ω, ± f ω ), f ω < b выполнение условия: 1/b | f ω | < 1 1ввод ω 2 распаковать υ (e υ, ± f υ ) и ν (e ν, ± f ν ) 3 если e ν > e υ то υ ν (e ν e υ и f υ f ν ) конец если 4e ω = e υ 5 если (e υ e ν ) p + 2 то f ω = f υ 6иначе 7сдвиг f ν >> (e υ e ν ) => a = f ν /b (e υ e ν ) 8a = f υ + a, f ω = окр(a, p) 9конец если 10 нормализация (e ω, ± f ω ) и упаковка (e ω, ± f ω ) ω почему?

ИТОГИ 56 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Рассмотрены внутренние представления целых чисел: – целых чисел без знака – целых чисел со знаком прямой код, обратный код, дополнительный код; арифметические действия (сложение и вычитание) над знаковыми числами в дополнительном коде. Внутреннее представление вещественных чисел: – вещественные числа с фиксированной и плавающей запятой; – упаковка вещественных чисел; – понятие машинного нуля, понятие погрешности вычислений, понятие машинного эпсилона; – арифметические действия (сложение и вычитание) над вещественными числами с плавающей точкой.

ЛИТЕРАТУРА 57 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» 1)Кнут, Д.Э. Искусство программирования. Том 2. Получисленные алгоритмы. – Вильямс, Addison Wesley Longman, – 500 с. – (Серия: Искусство программирования). – ISBN )Воеводин, В.В. Вычислительная математика и структура алгоритмов. – М.: Изд-во МГУ, – 112 с. – ISBN )Вылиток, А.А. Представление чисел в ЭВМ cmcmsu.no-ip.info/download/pc.number.representation.pdf 4)Википедия, стандарт IEEE года 5)Википедия, стандарт IEEE г.