«Мир построен на силе чисел» Пифагор

Из всех действий арифметики самое своенравное - деление «Нрав» деления проявляется не только по отношению к нулю Деление также не всегда выполнимо в области целых чисел Все эти особенности деления и способствовали возникновению таких понятий, как простые числа, НОД, НОК, признаки делимости чисел Постепенное развитие теории делимости чисел привело к глубокому расширению всей теории чисел

Алгебра весьма облегчает отыскание признаков, по которым можно заранее, не выполняя деления, установить, делится ли данное число на тот или иной делитель. В школьной программе дети изучают признаки делимости на: Но не изучают признаки делимости на: последняя цифра делится на 2 сумма цифр делится на 3 число из двух последних цифр делится на 4 последняя цифра делится на 5 делится на 2 и на 3 сумма цифр делится на 9 последняя цифра 0

Семь раз отмерь, один раз отрежь. Семь бед, один ответ. Семь пятниц на неделе. Один с сошкой, а семеро с ложкой. У семи нянек дитя без глазу. Было у тещеньки семеро зятьев...

В таблице простых чисел числа 7, 11 и 13 расположены рядом. Их произведение равно: 7 * 11 * 13 = 1001 = Если трёхзначное число умножить на 1001, то произведение запишется такими же цифрами, как и множимое, только повторенными два раза Значит, все числа вида abcabc делятся на 7, 11 и 13. В частности, делится на 7, 11 и 13 число , или, иначе,

Требуется, допустим, определить, делится ли число на 7,11 и 13. Разобьем данное число справа налево на грани по 3 цифры. Представим теперь данное число в таком виде: = * * = ( – 1)+ 42 ( – 1 + 1) = (295 – ) + [623 ( ) + 42 * ( – 1)] Число в квадратной скобке обязательно делится и на 7, и на 11, и на 13. Значит, делимость испытуемого числа полностью определяется делимостью числа, заключённого в первой скобке

Если разность сумм г раней данного числа, взятых через о дну, делится н а 7 и ли н а 11, или н а 13, т о и данное делится соответственно н а 7, и ли н а 11, и ли н а 13 Вернёмся к числу Определим на какое из чисел 7, 11 или 13 делится разность сумм граней данного числа: ( ) = Число 286 делится на 11 и на 13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число делится на 11 и на 13, но на 7 не делится

Первый признак делимости на 7 Число делится н а 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания у двоенной последней цифры и з э того числа без последней цифры делится н а 7 Доказательство: Запишем проверяемое число в виде 10 х+у, где х - некоторое натуральное число, не обязательно однозначное, а у - цифра Надо доказать, что если х -2 у делится на 7, то и 10 х + у делится на 7 х – 2 у =7 а х=7 а + 2 у 10 х =70 а + 20 у = 70 а + 21 у - у =7(10 а + 3 у ) – у, значит 10 х + у =7(10 а +3 у )

Примеры Проверить делимость числа на – 6*2= – 6*2 = – 5*2 = 0 0 делится н а 7, значит и делится н а 7 Проверить делимость числа 7184 на – 4*2 = н е делится н а 7, значит 7184 не делится н а 7

В доказательстве некоторых признаков делимости на 7 активно принимает участие Теория вычетов Два натуральных числа a и b, разность которых кратна натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m : a b (mod m ) Так, 3 1 (mod 2), 7 1 (mod 3). Два числа сравнимы по модулю 2, если они оба четны, либо если они оба нечетны. По модулю 1 все целые числа сравнимы между собой. В том случае, если число n делится на m, то оно сравнимо с нулем по модулю m : n 0 (mod m ).

Второй признак делимости на 7 Возьмем д ля испытания число Запишем его следующим образом : Заменим в саду о снование 10 н а о снование 3: Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на делится на 7, значит и 5236 делится на 7

Для доказательства этого признака используем теорию вычетов. Рассмотрим шестизначное число: Третий признак делимости на 7 Имеем:

Так как, дальше всё будет повторяться. В результате мы получаем следующие две строки чисел, причем под каждой степенью десятки подписано число, сравнимое с ней по модулю 7: Отсюда получаем:

В результате получаем следующее правило: Чтобы узнать остаток от деления натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты: затем умножить каждую цифру на стоящий под ней коэф­фициент и полученные произведения сложить: найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число...,-1,2,3, 1,-2, -3, -1,2, 3, 1,...

Найти остаток от деления 4136 на *(-1)+1*2+3*3+6*1=136 (mod 7) Ответ: остаток равен 6 Делится ли число на *1+5*(-2)+4*(-3)+6*(-1)+2*2+1*3+6*1=-7 Ответ: число делится на 7

Признак Паскаля Блез Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число Натуральное число a разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число

Примеры Делится ли на 11 Делится ли на 13 Так как -3 не делится на 11, значит и не делится на 13 Так как 39 делится на 13, значит и делится на 13

В заключение хочу представить 4 весьма необычных числа В каждом и з н их есть в се цифры о т 0 д о 9, н о каждая ц ифра только п о одному р азу и каждое и з этих чисел делится н а 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18