Дополнительные главы математической физики Николай Николаевич Розанов НИУ ИТМО, 2012

Предмет и основные задачи математической физики и математического моделирования (в широком смысле слова) Альтернатива экспериментальному моделированию Гибкость: Возможность включения или выключения из математической модели различных факторов. Рост производительности компьютеров. Что мы моделируем: физические эффекты (цель - понимание или предсказание процесса, выяснение основных свойств и зависимостей) техническое устройство (цель - оптимизация параметров)

Классификация моделей мат. физики Детерминированные или стохастические. Детерминированныестохастические Сосредоточенные или распределённые (сосредоточенность как предел распределенности). Сосредоточенныераспределённые Дискретные или непрерывные (то же). Дискретныенепрерывные Динамические (эволюционные) или не эволюционные (краевые). Устойчивость. Динамические Линейные или нелинейные модели (по какому параметру?). Линейныенелинейные модели

Прямые и обратные задачи мат. моделирования Расчет траектории частицы с известной массой в известных условиях (задача баллистики) Расчет массы частицы по известной траектории (масс-спектрограф). Примеры Аналитическое и численное моделирование

Математическая физика в узком смысле слова Теория и методы решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (а также родственных интегральных, интегро-дифференциальных и др.)

Функции комплексного переменного М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного.

Комплексные величины x y 0 z x y Равенство комплексных величин означает равенство их вещественных и мнимых частей

Комплексное сопряжение Если алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет корень то оно имеет и корень

Алгебра комплексных величин

Формула Эйлера Задача: выразить и через и. (бином Ньютона*). Сравнивая вещественные и мнимые части

Домашнее задание-1 1. Записать в тригонометрической и показательной форме комплексные числа: 1 + i, 1 - i, -1, 3i. 2. Найти все корни уравнения, если известен один из его корней 2 – i. 3. Пользуясь формулой Эйлера, найти: 4. Выразить и через и.

Функции комплексного переменного

Область определения функции - область D на комплексной плоскости (множество), если: 1. вместе с каждой точкой из D этому множеству принадлежит и круг достаточно малого радиуса с центром в этой точке; 2. любые две точки D можно соединить ломанной, состоящей из точек D. Граничная точка области D : не принадлежит D, но в любой ее окрестности лежат точки этой области. Совокупность граничных точек – граница области. Область D с присоединенной границей – замкнутая область

Разрезы, точки, односвязные и многосвязные области Положительное направление обхода границы – область остается слева

Функции комплексного переменного Сейчас рассматриваем случай взаимно однозначного (однолистного) отображения Предел (независимо от способа приближения к точке) Непрерывность функции в точке Непрерывность функции в области

Производная функции (однозначной) Условия существования производной (условия Даламбера-Эйлера, или Коши-Римана) Вывод: независимость предела от способа приближения к нему 1. h = dx; 2. h = idy. … Обычные правила дифференцирования. Функция f(z), дифференцируемая в каждой точке области D, называется аналитической (или регулярной, или моногенной) в этой области.

Сопряженные гармонические функции u и v Если задана одна из этих функций, то другая определяется с точностью до постоянной. Доказательство от противного. Пусть заданной функции v(x,y) отвечают две разных функции и Тогда из условий Даламбера-Эйлера (Коши-Римана)

Уравнение Лапласа Из условий Даламбера-Эйлера вывести уравнения для 1) u и 2) для v (гармонические функции).

Элементарные функции Степенная функция Область определения ? Однозначность ? Производная ? Аналитичность ? (обратная функция) n ветвей z = 0 – точка ветвления разрезы Решить уравнение:

Элементарные функции. Показательная функция Область определения ? Однозначность ? Производная ? Аналитичность ? Периодичность:

Элементарные функции. Логарифмическая функция Область определения ? Однозначность ? Производная ? Аналитичность ? z = 0 – точка ветвления Бесконечнозначная функция

Элементарные функции. Тригонометрические и гиперболические функции Обратные функции

Общая степенная функция Модуль – бесконечно значная функция. При иррациональных a аргумент – бесконечно значная функция

Домашнее задание-2 1. Найти логарифмы чисел: -1; -i; 1 + i. 2. Найти все значения 3. Решить уравнение 4. Для f(z) = u(x,y) +iv(x,y) заданы Найти v(x,y).

Интегрирование функций комплексного переменного Обобщаются обычные свойства криволинейных интегралов: a,b – компл. постоянные - кривая, состоящая из С 1 и С 2 противоположные направления обхода кривой

Теорема Коши Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то для всех кривых С, лежащих в этой области и имеющих общие концы, интеграл имеет одно и то же значение. (условия аналитичности Даламбера-Эйлера совпадают с условиями независимости от пути криволинейного интеграла) Другая формулировка Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то ее интеграл вдоль любого замкнутого контура С, лежащего в D, равен нулю:

Первообразная Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл рассматриваемый как функция своего верхнего предела, также является аналитической в D функцией, причем по определению производной Первообразная F в односвязной области определяется с точностью до постоянной. Определенный интеграл

Многосвязные области Пример: x y 1 0 C Особая точка – z = 0 (полюс) C – окружность единичного радиуса с центром в начале координат

Интеграл при многосвязной области циклические постоянные С 0 – простая кривая (без самопересечений) N k – целые числа, указывающие, сколько раз и в каком направлении проходится

Пример

Разрезы После введения разрезов область становится односвязной. Для аналитической функции f(z)

Формула Коши Функция f(z) аналитична в n-связной области D. Граница области C проходится так, что область D все время остается слева. Значение аналитической функции в любой точке вычисляется через значения этой функции на границе области. Доказательство: Из области D выбрасывается кружок радиуса r с центром в точке z и используется формула с предыдущего слайда. Частный случай: Кривая С – окружность - теорема о среднем

Принцип максимума Если функция f(z), не равная тождественно постоянной, аналитична в области D и непрерывна в, то ее модуль не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области D. Если функция f(z) не постоянна, аналитична в области D, непрерывна в и не обращается в 0, то минимум модуля этой функции | f(z)| не может достигаться внутри D.

Краевые задачи. Гармонические функции Уравнение Лапласа Следствие условий дифференцируемости Даламбера-Эйлера Сопряженные функции в односвязной области D

Особая точка функции (полюс) Для однозначной гармонической функции u(z): Если u(z) стремится к бесконечности при то в окрестности точки а она может быть представлена в виде где k = const и U(z) - гармоническая в точке а функция (полюс). Задача Дирихле Найти гармоническую в области D и непрерывную в функцию u(z), которая на границе D принимает заданные непрерывные значения Решение задачи Дирихле для области D в виде круга единичного радиуса Для полуплоскости К задаче Дирихле сводится и задача Неймана (на границе задана нормальная производная)

Ряды Ряд Тейлора Функция f(z) представима своим рядом Тейлора в любом открытом круге с центром в точке a, в котором она аналитична. Ряд Тейлора сходится во всякой замкнутой области, принадлежащей этому кругу. Сходимость при любом z Сходимость при |z|

Степенные ряды Ряд сходится в круге радиуса R (верхний предел) Сравнение с рядом Тейлора

Теорема единственности 1. Нули аналитической функции изолированы. 2. Если функции f(z) и g(z) аналитичны в области D и их значения совпадают на некоторой последовательности точек, сходящейся к внутренней точке области D, то всюду в D эти функции совпадают: f(z) = g(z).

Ряд Лорана Для представления функций, аналитических в кольцевых областях, например, r < |z – a| < R C – окружность |z – a| = ρ радиуса r < ρ < R Главная часть ряда Лорана:

Применения рядов Специальные функции Функция вероятности - существенно особая точка сходится при всех конечных z Интегральный синус

Особые точки однозначной функции Изолированные особые точки Устранимая особая точка: конечный предел Разложение в ряд Лорана в окрестности точки а не содержит главной части. Полюс: предел Главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов. Существенно особая точка: предел не существует В окрестности этой точки функция принимает любое значение. Полюс n-го порядка функции f(z) – это нуль n-го порядка функции 1/f(z); число членов в главной части разложения Лорана равно порядку полюса. Для существенно особой точки – бесконечное число членов в главной части.

Примеры

Целые и дробные аналитические функции Целые (голоморфные) функции – не имеют особых точек. Пример: f(z) = exp(z). Дробные (мероморфные) функции – не имеет других особенностей, кроме полюсов. Пример:, n – целое число. Аналитическое продолжение функции. Пример: Сходимость – круг |z|< 1

Интеграл C – окружность |z – a| = ρ радиуса ρ a C a C Прямое вычисление (а не по теореме Коши)

Вычеты residu Ряд Лорана Вычет функции f(z) в изолированной особой точке a где С – достаточно малая окружность |z – a| = r. Для полюсов первого порядка Выделенность n = - 1:

Теорема о вычетах Если функция f(z) непрерывна на границе С области D и аналитична внутри этой области всюду, за исключением конечного числа особых точек (полюсы или существенно особые точки), то Вычисление интеграла сводится к нахождению локальных величин. Это следствие теоремы Коши:

Вычисление вычета для полюса 1-го порядка Функции g(z) и h(z) регулярны в точке а. Функция f(z) имеет в точке а простой полюс. Разлагаем функции g(z) и h(z) в ряды Тейлора в окрестности точки а:

Вычет n-го порядка Если – полюс n-го порядка функции f(z), то Задача: найти вычеты функций :

Домашнее задание 3 Найти вычеты в особых точках функций

Вычисление интегралов по теории вычетов-1 Пример: вычислить интеграл Теорема о вычетах: Особые точки? Вычеты в них?

Интеграл от рациональной дроби Вычеты подынтегральной функции во всех полюсах в верхней полуплоскости Пример: Если f(z) непрерывна в окрестности бесконечно далекой точки и равномерно при, то интеграл от f(z) по любой дуге окружности |z| = R стремится к 0 при

Вычисление интегралов по теории вычетов Лемма Жордана: Если на некоторой последовательности дуг окружностей функция g(z) стремится к нулю равномерно относительно arg z, то для любого положительного числа λ (для вычисления интегралов с бесконечными пределами)

Примеры вычисления интегралов Окончить – это домашнее задание 4 Простые полюса: z = ai, z = -ai Вычет в полюсе z = ai:

Вычисление интегралов (по лемме Жордана) На полуокружности с r

Окончание

Интегралы Френеля x y 0 R (1) (2) (3)

Вычисление интеграла (?) 0 A BC D R-Rx y 2 Простой полюс

Продолжение

Окончание

Интегрирование функций от тригонометрических функций F – рациональная функция своих переменных Интеграл по единичной окружности С (|z| = 1) равен 2πi x сумму вычетов подынтегральной функции относительно полюсов внутри единичной окружности

Пример Полюса Полюс внутри С Вычет

Интеграл от многозначных функций Главное значение особого интеграла (пример) На нижнем берегу разреза вдоль положительной полуоси

Окончание

Домашнее задание. Вычислить интегралы

Асимптотические разложения Разность между функцией f(z) и частной суммой при должна быть малой высшего порядка относительно последнего члена частной суммы Определение коэффициентов (однозначное) (ср. с рядом Лорана)

Асимптотические разложения-2 Один и тот же ряд может служить асимптотическим разложением различающихся функций Задача: найти асимптотическое разложение функции Асимптотические разложения можно почленно складывать, перемножать и интегрировать, но нельзя, в общем случае, дифференцировать. Пример:

Асимптотические разложения-3 Задача: найти асимптотическое разложение функции (связана со специальной функцией – интегральной показательной функцией) Интегрирование по частям, Повторяем интегрирование по частям

Асимптотические разложения-4 Оценка интеграла (тоже интегрирование по частям) Сходимость ряда? при любом фиксированном x, так что ряд расходится.

Гамма-функция (Эйлера) - аналитическая функция z при Re z > 0 Г(1) = ? Г(n) = ? Указание: Г(z + 1) = z Г(z) (интегрирование по частям)

Асимптотические оценки интегралов – большой параметр Упрощенный вариант: ряд сходится. Тогда (почленно интегрируем. Верхний предел заменяем на бесконечность) Основной вклад в интеграл от окрестности

Метод Лапласа – большой параметр, функция f(t) имеет на отрезке (a,b) один резко выраженный максимум при В окрестности максимума функции f(t)

Асимптотика гамма-функции Максимум f: f(1) = 0 - формула Стирлинга Задание: оценить 100!

Соотношения Крамерса-Кронига Диэлектрическая проницаемость Диэлектрическая проницаемость вакуума Аналитичность в верхней полуплоскости комплексной частоты Формула Коши Для любых сред