Задача С6 Арифметика и алгебра. Подготовили ученицы 10 Г класса Карх Елизавета и Скачкова Анна.

Делимость, признаки делимости Число а делится на число b0, если существует такое число с, что а=bc. Свойства делимости Если a делится на b, то и число ka делится на b. Если число a делится на с и число b делится на c, то сумма и разность чисел a и b делится на c.

Признаки делимости Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра четна. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 3. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, составленное из последних двух цифр его десятичной записи, идущих в том же порядке, делится на 4. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или 5. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, считая справа в десятичной записи данного числа, и суммы цифр, стоящих на четных местах в десятичной записи данного числа, делится на 11 (например, число делится на 11, так как ( ) - ( ) = 22 делится на 11). Число делится на 7 (13) тогда и только тогда, когда алгебраическая сумма чисел, образующих грани по три цифры (начиная с цифры единиц), взятых со знаком "плюс" для нечетных граней и со знаком "минус" для четных граней, делилась на 7 (13) (например, число делится на 7 и не делится на 13: 815 – = 679; 679 делится на 7 и не делится на 13)

Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все числа от 0 до 9? Рассмотрим признак делимости числа на 11. Если разность сумм цифр стоящих на четных и нечетных местах делится на 11, то и само число делится на 11. Запишем число Сумма цифр стоящих на нечетных местах = 25 Сумма цифр стоящих на четных местах = 20 5, а должно быть 11. Для этого нужно две цифры, стоящие на четных и нечетных местах, разность которых равна 3, поменять местами: Ответ: Да, найдутся.

Простые и взаимно простые числа Натуральное число, отличное от 1, называется простым, если у него нет натуральных делителей, отличных от 1 и него самого. Числа, отличные от 1 и не являющиеся простыми, называются составными. 1 не является ни простым, ни составным числом. Два числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называются взаимно простыми. Если число a делится на числа b и c, причем эти числа взаимны просты, то число a делится на произведение bc.

Основная теорема арифметики и количество делителей. Каждое натуральное число n>1 имеет единственное (с точностью до порядка множителей) разложение на простые множители n=p 1 α1 p 2 α2 ·…·p k αk (р 1, р 2,...,р k попарно различные простые числа, а 1,а 2,..., а k натуральные числа). Данная форма записи называется каноническим разложением числа n. Количество натуральных делителей числа n, записанного в канонической форме, равно (а 1 +1)·(а 2 + 1)·…·(а k +1).

Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных делителя, включая единицу и само число. Пусть число Число делителей:, все числа простые. Ответ:

Десятичная запись числа Всякое натуральное число N единственным образом представимо в виде N=a n ·10 n +a n-1 ·10 n-1 +a n-2 ·10 n- 2 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10 1 +a 0, где n натуральное число или 0, а n, а n-1, а n-2,..., а 2, а 1, а 0 цифры от 0 до 9, причем цифра a n0. Натуральное число M является n-значным в том и только в том случае, когда оно удовлетворяет неравенству 10 n-1М10 n.

Если пятизначное число умножить на 9, то получится это число, написанное в обратном порядке. Какое это число? Ответ: 10989

Найдите минимальное шестизначное число, которое уменьшается в 3 раза при перенесении последней цифры, равной 1, на первое место Ответ:

Сложили шесть трехзначных чисел, полученных перестановками трех различных цифр в разном порядке. Докажите, что получившаяся сумма делится на 37.

Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения) Уравнение вида f(x,y...)=0, переменные в котором считаются целочисленными, называется уравнением в целых числах, или диофантовым уравнением. Набор целочисленных значений переменных, при подстановке которых в уравнение получается верное равенство, называется решением диофантова уравнения. Пример. Уравнение x 2 + y 2 – z 2 = 0 диофантово уравнение (если считать, что переменные могут принимать целочисленные значения). Набор (3; 4; 5) одно из его решений.

Уравнение ax+by=c разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда c:d, где d=НОД(a,b). Пример: Найдите частное решение уравнения 147 х-25 у=14 Числа 147 и -25 взаимно просты. Следовательно, уравнение разрешимо в Z. Найдем одно частное решение. 147= (-25)·(-5) =22·(-2)+19 22=19·1+3 19=3·6+1 1=19-3·6=19-6· (22-19·1)=7·19-6·22= =7· (-25-22· (-2))-6· (147-(-25) ·(-5))=8·147+47· (-25) 147·8-25·47=1 Домножим левую и правую части на 14. Получим: 147·112-25·658=14 Ответ: пара чисел (112;658) образуют частное решение уравнения 147 х-25 у=14

Уравнение вида ax + by = c называется линейным диофантовым уравнением. Если пара чисел (х 0 ; у 0 ) является решением такого уравнения, то все его решения можно получить по формулам Обычно указанную пару решений находят подбором, подставляя вместо одной переменной остатки от деления на коэффициент при другой. Т.е. то, что мы сделали в предыдущем примере.

Решите в целых числах уравнение 147 х-25 у=14. Частное решение этого уравнения (х 0;у 0)=(112;658), которое мы нашли в предыдущем примере. Следовательно, общее решение, где d=1: х=112+25k у= k, kЄZ Т.к. 112=25 · 4+12, а 658=147 · 4+70, то общее решение уравнения может быть записано проще: х=12+25k y=70+147k, kЄZ