Прогрессии Арифметическая Геометрическая

Арифметическая прогрессия Определение Последовательность а n называется арифметической прогрессией, если разность между любым последующим ее членом и предыдущим, стоящим рядом, есть величина постоянная, которая обозначается d и называется разностью прогрессии. a n+1 = a n + d

Формула n-го члена прогрессии a n =a 1 + (n – 1)d Арифметическая прогрессия

Запишите формулу n-го члена. А n -1;4;7;10;13… А n = 3n – 2 В n – 2;6;10;14;18… Bn = 4n – 2 С n - 7;2;-3;-8;-13… Cn = -5n +12 Арифметическая прогрессия

Теорема 1 Для того чтобы последовательность являлась арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы она являлась линейной функцией. Теорема 2 Пусть a n арифметическая прогрессия. Тогда сумма двух членов прогрессии, стоящих в левой части выражения, совпадает с суммой двух членов этой же прогрессии из правой части, если сумма их индексов равны. a k + a n-k+1 = a 1 + a n Теорема 3 Для того чтобы последовательность a n являлась арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы любой ее член, начиная со второго, был равен среднему арифметическому рядом стоящих ее членов a n+1 = ( a n + a n+2 )/2 Арифметическая прогрессия

Задание 1 Дано: a n – арифметическая прогрессия, a 2 + a 8 = 10 a 3 + a 14 = 31 Найти a 1, d ? Арифметическая прогрессия Практикум

Решение 1 Выразим все в каждом уравнении через a 1,d. а 1 + d + a 1 + 7d = 10 а 1 + 2d + a 1 +13d = 31 2 а 1 + 8d = 10 2 а d = 31 d = 3, a 1 = - 7 Арифметическая прогрессия Практикум

Задание 2 Дано: a n – арифметическая прогрессия, a 2 +a 4 + a 6 = 36 a 2 * a 3 = 54 Найти a 1, d ? Ответ 2 а 1 = -33 d = 15 а 1 = 3 d = 3 Арифметическая прогрессия Практикум

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии S n = n(a 1 +a n )/2 S n = n(2a 1 +(n-1)d)/2 Арифметическая прогрессия

Задание 3 Найти сумму всех двузначных чисел, кратных 3. Дано : а 1 = 12, а n = 99, d = 3 Найти: S n =? Решение: a n =a 1 + (n – 1)d, то n = ( а n - а 1 + d)/ d, значит n = 30, отсюда S n = 1665 Арифметическая прогрессия Практикум

Задание 4 Найти сумму всех двузначных чисел, кратных 4. Ответ n = 22 Sn = 1188

Задание 5 Решите уравнение …+ х= 155 Дано : а 1 = 2, а n = х, d = 3, Sn = 155 Найти: n =? Решение: n = (х+1)/3 S n = n(a 1 +a n )/2, то 155=(2+х)(х+1)/6, + 3 х – 928 =0, х=-32, х=29 Ответ: х=29 Арифметическая прогрессия Практикум Х2Х2

Теорема 5 Для того чтобы последовательность являлась арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы сумма первых n членов последовательности была функцией не выше второй степени относительно n. Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия Практикум Задание 6 Дано: Sn = 1. Выяснить является ли эта последовательность арифметической 2. Вычислить a 5 * a 6 2n 2 – n - 6

Решение 6 1. Sn – есть квадратичная функция, следовательно последовательность является по Т5 арифметической прогрессией. 2. а n = S n – S n -1 а n = 4n-3, a 5 = 17 а 6 = 21 значит a 5 * a 6 = 17*21 =357 Арифметическая прогрессия Практикум

Геометрическая прогрессия Определение Последовательность b n называется геометрической прогрессией, если отношение каждого последующего члена последовательности к рядом стоящему предыдущему члену есть величина постоянная, равная g, называемому знаменателем прогрессии. b n- 1 = b n * g b n = b 1 * g n-1

Теорема 6 Для того чтобы последовательность являлась геометрической прогрессией необходимо и достаточно чтобы квадрат любого последующего члена последовательности был равен произведению рядом стоящих членов последовательности. Геометрическая прогрессия b 2 n+1 = b n *b n+2

Теорема 7 Сумма первых членов геометрической прогрессии равна Геометрическая прогрессия S n =b 1 (1-g n )/(1-g), g=1 S n =b 1 *n, g=1

Определение Если в геометрической прогрессии IgI

Записать общий член прогрессии b n – 1; 4; 16; 64; 256… Решение 1 b 1 = 1, g = 4, b n – 1; 1; 1 ; 1; Решение 2 Геометрическая прогрессия Практикум b n =4 n-1 b n =(1/3) n

Доказать, что последовательность является геометрической прогрессией Решение Найдите Геометрическая прогрессия Практикум b n =5 3n b n+1 /b n b n+1 =125*b n

Выяснить, принадлежит ли число 3750/243 последовательности 2,10/3; 50/3;… и найти его номер, если это так. Решение b 1 =2,b 2 =10/3,b 3 =50/3 b 2 /b 1 =5/3, b 3 /b 2 =5/3, значит ГП и g=5/3, b n =… n=5 Геометрическая прогрессия Практикум

Дано b 1 +b 2 =8 b 4 +b 5 =216 b1,gb1,g Решение b 1 + b 1 *g=8 b 1 * + b 1 * =216 b 1 (1+ g)=8 (1) b 1 * (1 + g)= 216 (2) (2) : (1) =27, g=3,b 1 =2 g3g3 g3g3 g4g4 g3g3