Пример Найдите приращение х и f в точке x 0, если f(x) = х 2, x 0 = 2 и а) х=1,9; б) х=2,1 Найдите приращение х и f в точке x 0, если f(x) = х 2, x 0 = 2 и а) х=1,9; б) х=2,1 а) х= х- x 0 =1,9 - 2= - 0,1 а) х= х- x 0 =1,9 - 2= - 0,1 f = f(х) – f (x 0 ) = f(1,9) – f (2) = 1, = -0,39 f = f(х) – f (x 0 ) = f(1,9) – f (2) = 1, = -0,39 б) х= х- x 0 =2,1 - 2= 0,1 б) х= х- x 0 =2,1 - 2= 0,1 f = f(х) – f (x 0 ) = f(2,1) – f (2) = 2, = 0,41 f = f(х) – f (x 0 ) = f(2,1) – f (2) = 2, = 0,41

Задание 1 Найдите приращение функции f в точке х 0, если: Найдите приращение функции f в точке х 0, если: а) f(х) = 2 х 2 – 3, х 0 = 3, х = - 0,2; а) f(х) = 2 х 2 – 3, х 0 = 3, х = - 0,2; б) f(х) = 3 х + 1, х 0 = 5, х = 0,01; б) f(х) = 3 х + 1, х 0 = 5, х = 0,01; в) f(х) = х 2 /2, х 0 = 2, х = 0,1. в) f(х) = х 2 /2, х 0 = 2, х = 0,1.

Непрерывность функции Функция f(х) называется непрерывной в точке х 0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если предел функции при х х 0 равен значению функции в этой точке. Функция f(х) называется непрерывной в точке х 0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если предел функции при х х 0 равен значению функции в этой точке. Функция, непрерывная в Функция, непрерывная в каждой точке заданного промежутка, называется непрерывной на всём промежутке.

Являются ли непрерывными в каждой из точек х 1,х 2,х 3 функции, графики которых изображены на рисунках? Являются ли непрерывными в каждой из точек х 1,х 2,х 3 функции, графики которых изображены на рисунках?

Прямую l, проходящую через любые две точки графика функции f, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент k секущей выражается через приращения х и f :

Выразим через приращения среднюю скорость движения за промежуток времени [t 0 ;t 0 + t]: Выразим через приращения среднюю скорость движения за промежуток времени [t 0 ;t 0 + t]:Выражение: называется средней скоростью изменения функции на промежутке с концами х 0 и х 0 + х

Производная Производной функции f в точке х 0 называется число, к которому стремится разностное отношение Производной функции f в точке х 0 называется число, к которому стремится разностное отношение при х, стремящемся к нулю.

Функцию, имеющую производную в точке х 0, называют дифференцируемой в этой точке. Функцию, имеющую производную в точке х 0, называют дифференцируемой в этой точке. Нахождение производной функции f называют дифференцированием. Нахождение производной функции f называют дифференцированием.Примеры: 1.х=1; 2.С=0; 3.(х 2 )=2 х; (х n )=nх n-1 4.(х 3 )=3 х 2 ; 5. 6.

Производная

Правила вычисления производных 1. Производная суммы равна сумме производных: 1. Производная суммы равна сумме производных: (f+g)'=f'+g' 2. Производная произведения: (f·g) ' =f ' g+fg '

Правила вычисления производных 3. Производная частного: 4. Производная степенной функции:

Задание 2 Найдите производную функции f в точке х 0, если: а) f(х)=х 3, при х 0 = 2; -1,5; б) f(х)=4-2 х, при х 0 = 0,5; -3; в) f(х)=3 х-2, при х 0 = 5; -2; г) f(х)=х 2, при х 0 = 2,5; -1. Вар.48(5) Найдите значение производной функции

Вар.8(5) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S= 5t-0,5t 2 (м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2 с после начала движения. Вар.8(5) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S= 5t-0,5t 2 (м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2 с после начала движения. Вар.79(5) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S= 12t-3t2(м), где t - время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится?

Вар.86(5) Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону Вар.86(5) Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону S= 0,5t 2 +3t +2 (м), где t - время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 15 м/с?

Вар.4(4) Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f(х)=3 х 3 +2 х-5 в его точке с абсциссой х=2. Вар.4(4) Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f(х)=3 х 3 +2 х-5 в его точке с абсциссой х=2. Вар.31(5) Дана функция f(х)=5+4 х-3 х 2. Найдите координаты точки её графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен -5. Вар.31(5) Дана функция f(х)=5+4 х-3 х 2. Найдите координаты точки её графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен -5. Вар.23(5) f(х)=1/3 х 3 +5 х Найдите координаты точек её графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс.

Найдите производную функции : Вар Найдите значение производной функции в точке х 0 =-2.

Задание Найдите значение производной функции в точке х 0 = -3 1) 7 2) -5 3) 1 4) 13 1) 7 2) -5 3) 1 4) 13

Задание Найдите значение производной функции в точке х 0 = -1 1) -9 2) -8 3) 0 4) 10 1) -9 2) -8 3) 0 4) 10

Задание Найдите значение производной функции в точке х 0 = -2 1) 1 2) -4 3) 7 4) -7 1) 1 2) -4 3) 7 4) -7

Производные тригонометрических функций

Вар.54(5) Найдите производную функции f(х)=2 х 2 +sin x. Вар.54(5) Найдите производную функции f(х)=2 х 2 +sin x. Вар.5 (4) Найдите производную функции f(х)=2 х 2 + tg x. Вар.5 (4) Найдите производную функции f(х)=2 х 2 + tg x. Вар.39(5) Найдите значение производной функции f(х)= tg х-2sin x при х=- / 4. Вар.39(5) Найдите значение производной функции f(х)= tg х-2sin x при х=- / 4. Вар.52(5) Найдите значение производной функции f(х)= 4sin x – cos x при х=- / 4. Вар.52(5) Найдите значение производной функции f(х)= 4sin x – cos x при х=- / 4.

Вар.23(5) Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f(х)= 4 cos x +3 в его точке с абсциссой х=- / 3. Вар.23(5) Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f(х)= 4 cos x +3 в его точке с абсциссой х=- / 3. Вар.62 (5) К функции y=2sin x + 3cos x проведены касательные в точках с абсциссами х 1 = / 2 и х 2 = 3 / 2. Являются ли эти касательные параллельными прямыми? Вар.62 (5) К функции y=2sin x + 3cos x проведены касательные в точках с абсциссами х 1 = / 2 и х 2 = 3 / 2. Являются ли эти касательные параллельными прямыми? Вар Найдите значение производной функции y= sin (4x- / 6 ) в точке х 0 =- / 12. Вар Найдите значение производной функции y= sin (4x- / 6 ) в точке х 0 =- / 12.

Задание Решите уравнение f(x)=0, если :

Формула производной сложной функции

Задание Найдите производную функции f:

Задание Найдите значение производной функции y=sin(3x+7)-cos(3 π+7) в точке х 0 =0 1)3cos 7 3) 3cos 1+3sin 7 2)3cos 7-3sin 7 4) 3sin 7 Найдите значение производной функции y=sin(5x+2)+cos(5x +2) в точке х 0 =-1 1)cos 3-sin 3 3) cos 3+sin 3 2)5cos 3-5sin 3 4) 5cos 3+5sin 3

Задание Найдите значение производной функции y=x·sin(2x+1) в точке х 0 =-1 1)-2 cos 1-sin 1 3) -2cos 1+sin 1 2)2cos 1-sin 1 4) -2cos 1 Вар Найдите значение производной функции в точке х 0 =0.

Задание Найдите производную каждой из функций:

Задание Решите неравенства f(x) >0, если :