ЛЕКЦИЯ 2 по дисциплине «Математика» на тему: «Производные функций. Правила дифференцирования. Дифференциал функции» для курсантов I курса по военной специальности «Фармация»

Пусть функция у = f(x) определена на некотором промежутке, и пусть x 0 - некоторая точка этого промежутка. Пусть Δx - приращение к значению аргумента такое, что (x 0 + Δx) не выходит за пределы упомянутого промежутка, а Δy = = f(x 0 + Δx) f(x 0 ) соответствующее приращение функции.

Определение. Если существует, то этот предел называется производной от функции у = f(x) по переменной х в точке x 0 (обозначения: или у' х ). Итак:

Если этот предел конечен, то производная называется конечной, если же этот предел бесконечен, то у' х бесконечная производная. Если конечная производная существует в каждой точке некоторого множества, то она оказывается функцией от х, заданной на этом множестве.

Пример. Найдем производную у = х 2 на основании определения производной. Решение. Δy=(x+Δx) 2 -x 2 = 2x. Δx + (Δx) 2. Тогда:

Физический смысл - производная функции отражает скорость изменения функции при изменении ее аргумента. Например, если x = f(t) есть уравнение прямолинейного движения точки, то производная dx/dt представляет собой мгновенную скорость точки в момент времени t.

Скорость (быстрота) протекания физических, химических, биологических процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т.п., также выражается при помощи производной. Например, скорость охлаждения тела равна производной температуры тела по времени: Скорость химической реакции есть производная массы образующегося вещества по времени:. и т.д.

Геометрический смысл: Производная функции у = f(x) геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х (тангенс угла наклона касательной к оси 0X).

При этом если существует касательная, то существует и производная, и наоборот. Случаю касательной, не параллельной оси OY, отвечает конечная производная, параллельной оси OY – бесконечная производная.

Определение: Если приращение функции y = f(x) в точке х можно представить в форме Δy = AΔx + αΔx, где А не зависит от Δх и α – бесконечно малое в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в точке x.

Из последнего равенства следует, что Перейдя к пределу при Δх 0, получим:

Итак, если y = f(x) дифференцируема в точке х, то приращение этой функции можно представить в виде где α – бесконечно малое в точке х. Отсюда следует, что если функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то она обладает в этой точке конечной производной. Можно показать, что справедливо и обратное утверждение.

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости): Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то она непрерывна в ней. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности не следует дифференцируемость. Рассмотрим две функции:

Эти функции непрерывны, но не имеют производной в точке x 0 : а) бесконечная производная; б) производной нет.

1. Производная от постоянной величины равна нулю, т.е. если y = C, то y = 0: Доказательство. По определению производной y = Очевидно, что Δу = 0, следовательно Δу/Δх= 0; у'= 0.

2. Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна сумме производных слагаемых: (u + v + w +...)' = u ' + v ' + w ' +... Доказательство. Очевидно, Δ(u + v + w +...) = Δи + Δv + Δw +... Остается поделить обе части этого равенства на Δx, перейти к пределу при Δx 0 и воспользоваться тем, что предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых.

3. Производная произведения двух функций определяется формулой: 4. Производная частного от деления двух функций определяется формулой:

Рассмотрим сложную функцию с одним промежуточным аргументом: у=f(u),u =φ(х), предполагая при этом, что функция у дифференцируема по аргументу u, а функция u дифференцируема по аргументу х. Требуется вывести правило дифференцирования этой сложной функции.

На основании определения производной имеем так как предел равен произведению пределов.

Если учесть, что поскольку всякая дифференцируемая функция непрерывна, то получим, что

ИЛИ, в других обозначениях,

Пример. Найти у', если: у = sin 3 5 х. Производную этой сложной функции будем находить по формуле Тогда

Предположим, что функция у = f(x) определена, монотонна и дифференцируема в некоторой области, причем производная dy/dx нигде не равна нулю. Наша функция у = f(x) имеет обратную функцию х = φ (у), и нам надо получить правило дифференцирования этой функции.

Для вывода можно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции с одним промежуточным аргументом. Согласно представлениям о сложной функции функцию у можно рассматривать как сложную функцию от самой себя с промежуточным аргументом х: у = f(x), х = φ(у).

На основании правила дифференцирования сложной функции получаем: Поскольку = 1, получаем правило дифференцирования обратной функции:

Определение. Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение ее аргумента:

Как видно из определения, дифференциал функции существует лишь для дифференцируемых функций, то есть функций, имеющих производную. Дифференциал функции прямо пропорционален приращению аргумента Δx (линеен относительно приращения аргумента функции).

Рассмотрим следующий пример: Найдем приращение Δy функции y =x 2 и дифференциал этой функции: Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2 dy = 2xΔx Из сравнения этих выражений видно, что приращение функции отличается от дифференциала функции на величину квадрата приращения аргумента (Δx) 2.

Рассмотрим малые приращения аргумента. Например, пусть при x = 1 приращение аргумента равно 0,01. В этом случае первое слагаемое в приращении функции (равное величине дифференциала) составит 0,02, а второе слагаемое – всего 0,0001, т.е. в 200 раз меньше.

Таким образом, дифференциал функции, в общем случае отличаясь от приращения функции, представляет собой главную часть этого приращения, линейную относительно приращения аргумента. В этом заключается аналитический смысл дифференциала.

При достаточно малых приращениях аргумента величина приращения функции приближенно равна дифференциалу этой функции: Δy dy, причем погрешность этого приближенного равенства тем меньше, чем меньше приращение Δx аргумента.

Рассмотрим график функции y = f(x).

Пусть через точку A (x,y), лежащую на кривой графика функции, проведена касательная DF, образующая угол FDC = φ с положительным направлением оси 0X. Пусть точка B (x + Δx; y + Δy) также принадлежит данной кривой. Точка F лежит на пересечении линии BC, параллельной оси 0Y, и касательной DF.

Поскольку углы FAE и FDC равны как соответственные при пересечении параллельных прямых АЕ и DC прямой DF, то угол FAE прямоугольного треугольника AFE также равен φ. Из этого треугольника для катета FE получаем: FE = AEtgφ.

Учитывая, что катет АЕ = Δx, а из геометрического смысла производной следует, что tgφ = y, то из этого равенства имеем: FE = yΔx = dy. Дифференциал функции y = f(x) в точке с абсциссой x равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, при переходе из данной точки в точку с абсциссой x + Δx.

Рассмотрим функцию, равную своему аргументу: y = x. Тогда дифференциал функции равен дифференциалу аргумента: dy =yΔx = 1Δx = Δx Таким образом, дифференциал аргумента равен приращению аргумента.

Формулу дифференциала функции можно записать в виде: dy = ydy, а формулу производной – в виде:

Таким образом, производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента.