КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов.

Двойные интегралы. Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой f(x, y) = 0. Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой областью. С геометрической точки зрения - площадь фигуры, ограниченной контуром. y 0 x

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Площадь фигуры S делим на элементарные прямоугольники, площади которых равны S i = x i y i В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х i, y i ) и составим интегральную сумму где где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области. Если бесконечно увеличивать количество частичных областей i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S i стремится к нулю.

Определение: Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области. т.е. С учетом того, что S i = x i y i получаем:

Условия существования двойного интеграла. Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области, то двойной интеграл существует. Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.

Свойства двойного интеграла. 1) 2) 3) Если = 1 + 2, то 4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

Свойства двойного интеграла. 5) Если f(x, y) 0 в области, то 6) Если f 1 (x, y) f 2 (x, y), то 7)

Вычисление двойного интеграла. Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), где и - непрерывные функции и, тогда y y = (x) y = ( x) Двойной интеграл повторный интеграл

Пример. Вычислить интеграл, если область ограничена линиями: y = 0, y = x 2, x = 2. Решение: x

Вычисление двойного интеграла Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) ( (y) (y)), то

Пример: Вычислить интеграл, если область ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2. Решение: y y = x x

Пример. Вычислить интеграл если область интегрирования ограничена линиями х = 0, х = у 2, у = 2. Решение:

Замена переменных в двойном интеграле. Рассмотрим двойной интеграл вида, где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от у 1 (x) до у 2 (х), т.е. Положим х = х(u, v); y = у(u, v), тогда

Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид ( при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:

Двойной интеграл в полярных координатах. Воспользуемся формулой замены переменных: При этом известно, что В этом случае Якобиан имеет вид:

Тогда Здесь - новая область значений,

Тройной интеграл. Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в трехмерном пространстве. Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью (x, y, z) = 0. Здесь х 1 и х 2 – постоянные величины, у 1 и у 2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z 1 и z 2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.

Пример. Вычислить интеграл Решение:

Замена переменных в тройном интеграле. Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответствующей операции для двойного интеграла. Можно записать: где

Геометрические и физические приложения кратных интегралов. 1) Вычисление площадей в декартовых координатах. y y = (x) S y = f(x) a b x Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0. Решение: построим графики заданных функций: Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2.

Тогда искомая площадь равна: S =

2) Вычисление площадей в полярных координатах.

3) Вычисление объемов тел. Пусть тело ограничено снизу плоскостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y), а с боков – цилиндрической поверхностью. Такое тело называется цилиндроид. z z = f(x, y) x 1 y 1 x 2 x y2y2 y V =

Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x 2 + y 2 = 1; x + y + z =3 и плоскостью ХОY. Пределы интегрирования: по оси ОХ: по оси ОY: x 1 = -1; x 2 = 1; Решение:

4) Вычисление площади кривой поверхности. Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле: Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = (x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:

5) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла. Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле: при этом z 1 и z 2 – функции от х и у или постоянные, у 1 и у 2 – функции от х или постоянные, х 1 и х 2 – постоянные.