Лекция 1: Дифференциальные уравнения. Разностный метод.

п.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения ОДУ- уравнение, в которое входит независимая переменная x, функция y(x) и некоторые производные этой функции. ДУ 1-го порядка: ДУ 2-го порядка: ДУ n-го порядка: Рассмотрим следующую задачу: Пусть тело, имеющее температуру, помещено в среду, температура которой равна 0 градусов С. Требуется выяснить формулу, по которой можно было бы определить значение температуры тела в любой момент времени нахождения тела в этой среде.

Обозначим: t - переменная времени, - функция температуры тела, t=0 - момент времени, в который тело было помещено в среду с температурой 0 градусов С, - начальное условие. Из физики: скорость охлаждения какого-либо тела в любой момент времени пропорциональна разности температур этого тела и окружающей среды. Из матем. анализа: скорость любой величины –производная от этой величины. (1.1), - коэффициент пропорциональности. Знак минус поставлен потому, что температура убывает, а производная убывающей функции отрицательна.

Перепишем (1.1) в виде: (1.2) Интегрируем обе части (1.2), получаем: Отсюда потенцированием находим: (1.3) Величина постоянной будет найдена из начальных условия: при t=0 (1.4) Определение 1.1: Начальным условием для ОДУ будем называть известное значение неизвестной функции (решение ДУ) в начале координат, т.е., (x=0). Определение 1.2: Если задано значение решения в т.,т.е., то это условие называют краевым или граничным.

Пример: Найти функцию, которая является решением ДУ 2-го порядка: (1.5) В (1.5) и -известные (заданные) функции, которые называются коэффициентами ДУ. -заданная функция, называется правой частью ДУ. Левая часть (1.5) называется дифференциальным выражением. Ее можно записать в операторном виде, что и сделано в (1.5). Зададим краевые условия, для того, чтобы ДУ (1.5) имело единственное решение. Так как уравнение 2-го порядка, значит 2 краевых условия, например, в виде:

Определение 1.3: Если на концах отрезка заданы значения неизвестной величины, которую требуется найти, то эти условия называют краевыми условиями 1-го рода. Определение 1.4: Если правая часть краевых условий равна нулю, то такие условия называют однородными. Определение 1.5: Если на концах отрезка заданы краевые условия (1.6), то задача (1.5), (1.6) называется второй краевой задачей, а (1.6) – краевыми условиями 2-го рода. Определение 1.6: Пусть для (1.5) на концах отрезка заданы следующие граничные условия: (1.7) - граничное условие 3-го рода. Если бы на обоих концах отрезка были заданы граничные условия 3-го рода, то мы имели бы третью краевую задачу. В нашем случае (1.5), (1.7) – смешанная краевая задача.

П2. Разностный метод. Сетка и сеточные функции. Рассмотрим следующую задачу: (1.8) здесь (1.9) Построим разностный метод для решения задачи (1.8), (1.9). Зададим на множество точек (узлов): - узлы, -шаг сетки, - совокупность или множество узлов на отрезке. Введем обозначения: - множество граничных узлов. Узлы, принадлежащие называются внутренними.

Определение 1.7: Функцию будем называть сеточной функцией, если областью определения этой функции будет являться какое -либо множество узлов сетки. Значения сеточной функции в узлах сетки будем обозначать. Введем пространство сеточных функций с нормами Введенные сеточные пространства и нормы иногда называют разностными аналогами пространств и.

Разностные отношения. Согласно формуле Тейлора: На основании этой формулы имеем: конечная разность вперед. конечная разность назад. центральная разность. Эти четыре формулы обозначим (1.10). (1.11) Вторя разностная производная.

Разностная схема. Зададим: (1.12) и перепишем (1.8), (1.9) в виде: (1.13) (1.14) Общая схема (план) применения разностного метода: 1)Идея состоит в замене дифференциального уравнения на разностное. 2) Вводятся сетка и сеточные функции. 3) В (1.8) заменяются производные разностными отношениями. 4) Полученная разностная краевая задача может быть записана в операторном виде. 5) Необходимо исследовать разностную задачу прежде, чем находить ее решение, т.е. изучить вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости.

Запишем разностную задачу (точнее семейство таких задач, зависящих от параметра h) для задачи (1.13), (1.14): (1.15) на. (1.16) на. Оператор задан во внутренних узлах сетки, т.е. для он будет иметь следующий вид: - оператор определен в узле. - значения коэффициентов ДУ исходной задачи в узле.

Определение 1.8: Разностная задача (1.15), (1.16) называется разностной схемой для дифференциальной краевой задачи (1.8), (1.9). Разностная схема более подробно может быть записана в виде: