лекция 5 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности – Медицинская кибернетика к.б.н., доцент Попельницкая И.М. Красноярск, 2014 Тема: Приложения производной. Кафедра медицинской и биологической физики

План лекции Введение. Возрастание и убывание функций на интервале. Максимум и минимум функции. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Исследование и построение графиков функций. Правило Лопиталя. Заключение

Введение Знаете ли вы, что… Исследование функций с помощью производной позволяет более точно строить их графики, которые применяются для решения многих алгебраических задач.

Применение производной к исследованию функции 1) промежутки возрастания, убывания 3) наибольшее и наименьшее значение функции 2) точки экстремума и значение функции в этих точках 4) построение графика функции

Возрастание функции. [a, b] Функцию y=f(x) называют возрастающей на промежутке [a, b], если для любых x 1 и x 2 принадлежавших этому промежутку, из условия x 1 < x 2 следует, что

Возрастание функции. [a, b] Функцию y=f(x) называют строго возрастающей (монотонной) на промежутке [a, b], если для любых x 1 и x 2 принадлежавших этому промежутку, из условия x 1 < x 2 следует, что

положительному приращению аргумента соответствует положительное приращение функции y x x1x1 f(x 1 ) f(x 2 ) x2x2

Признак возрастания функции Достаточный признак возрастания функции. Если f (x)>0 в каждой точке интервала [a, b], то функция возрастает на [a, b].

Убывание функции. [a, b] Функцию y=f(x) называют убывающей на промежутке [a, b], если для любых x 1 и x 2 принадлежавших этому промежутку, из условия x 1 > x 2 следует, что

Убывание функции. [a, b] Функцию y=f(x) называют строго убывающей (монотонной) на промежутке [a, b], если для любых x 1 и x 2 принадлежавших этому промежутку, из условия x 1 > x 2 следует, что

Признак убывания функции Достаточный признак убывания функции. Если f (x)< 0 в каждой [a, b], то функция убывает на [a, b]. Если f (x)= 0 в каждой точке интервала [a, b], то f является постоянной (константой)на интервале [a, b].

Если = 0 в каждой точке интервала [a, b], то f (x) является постоянной (константой) на интервале [a, b]. Если = 0 в каждой точке интервала [a, b], то f (x) является постоянной (константой) на интервале [a, b].

Промежутки возрастания, убывания f (x) - ? [a, b] f (x) > 0 в каждой точке интервала [a, b] [a, b] f возрастает на [a, b] [a, b] f (x) < 0 в каждой точке интервала [a, b] [a, b] f убывает на [a, b] ++ - х 1 х 1 х 2 х х 1 х 1 х 1 х 1 х 2 х 2 х 2 х 2 х 3 х 3 -функция возрастает, - функция убывает. f f f f f f

Пример: Найти промежутки возрастания и убывания функции. Построить график f (x)=x 3 – 27x

Решение: Данная функция определена на множестве всех действительных чисел. Из равенства f (x)=3x 2 – 27x следует, что f > 0, если 3x 2 – 27 > 0. Решаем это неравенство методом интервалов, получим: 3x 2 – 27 >0, 3 (x 2 – 9) >0, 3 (x – 3)(x + 3) >0. Получили, что f > 0 на интервале (- ; -3) и (3; + ) и значит, на этих интервалах функция f возрастает. Аналогично f < 0 на интервале (-3; 3), поэтому на этом интервале f убывает. Вычисляем значение функции в точках -3 и 3. f(-3)=(-3) 2 – 27*(-3)= =54; f(-3)=(-3) 2 – 27*(-3)= =54;f(3)=27-81=

На координатной плоскости отметим точки М (-3; 54) и N (3; 54) и нарисуем проходящий через них график функции, возрастающей на интервалах (-; -3) и (3; +) и убывающей на интервале (-3; 3). Функция f, непрерывна в точке -3 и 3, возрастает на промежутке (- ; -3], [3; +) и убывает на отрезке [-3; 3] х у

Критические точки функции (локальные экстремумы) Внутренние точки D(f) функции, в которой ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками (только они могут быть точками экстремума). Необходимое условие экстремума. Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f, то она равна нулю: f (x 0 )= 0.

Признак максимума функции. Если функция f( X ) непрерывна в точке x 0, а f (x) > 0 f (x) 0 на интервале (а, х 0 ) и f (x) < 0 на интервале(х 0, b), то точка x 0 является точкой максимума функции f. (Если в точке x 0 производная меняется знак с «+» на «-», то x 0 есть точка максимума)

Признак минимума функции. Если функция f(x) непрерывна в точке x 0, а f (x) 0 x 0 x 0 x 0 а f (x) 0 на интервале(х 0, b), то точка x 0 является точкой минимума функции f. (Если в точке x 0 производная меняется знак с «-» на «+», то x 0 есть точка минимума) если знак производной, при переходе через х 0 не меняется, то в точке х 0 экстремума нет.

Правило нахождения экстремумов функции у=f(х) с помощью первой производной Найти производную f´(x); Найти критические точки функции у=f(х); Разбить числовую прямую, критическими точками на интервалы; Исследовать знак производной f´(x) на каждом интервале; Определить точки экстремума; Вычислить значения функции в точках экстремума

Точки экстремума и значение функции в этих точках Максимум функции Функция f определена и непрерывна на (a. b) f (x) - ? f (x) > 0 на (а, х 0 )f (x) < 0 на (х 0, b) х 0 - точка максимума f(x 0 ) + - x 0 – точка максимума Минимум функции Функция f определена и непрерывна на (a. b) f (x) - ? f (x) < 0 на (а, х 0 )f (x) > 0 на (х 0, b) х 0 - точка минимума f(x 0 ) x 0 – точка минимума х х f f f f

Пример: Найти критические точки функции. Определить, какие из них являются точками максимума, а какие – точками минимума. f (x) = 9+8x 2 -x 4

Решение: f =16 х – 4 х 3 ; f (х) определена во всех точках, f = 0, 16 х – 4 х 3 = 0, 4 х (4 – х 2 ) = 0, х=0 или (2-х)(2+х)=0 х=0, х =-2, х=2. В точке 0 производная меняет знак с «-» на «+» (f (х) > 0 при х Є (-;-2) и f (х) > 0 при х Є (0; 2) Пользуясь признаками максимума и минимума, получаем, что точка 0 является точкой минимума f min (x) = f(0) = 9. f f min

Наибольшее и наименьшее значение функции Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее значение функции. Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)= x 4 – 8x 2 – 9 на промежутках [-1; 1] [0; 3].

Решение: Решение: Находим критические точки. Т.к. производная f = 4 х х определена для любого х. Остается решить уравнение f (х)=0. 4 х х=0, 4 х(х 2 -4)=0, х=0 или (х-2)(х+2)=0, х=0, х=2, х=-2. Выбираем наибольшее и наименьшее из чисел Выбираем наибольшее и наименьшее из чисел f(0)= -9, f(2)=-25, f(-1)=-16, f(1)=-16, f(3)=0. Критическая точка -2 не принадлежит указанным промежуткам. Наибольшее значение достигается в точке 3 и равно 0, а наименьшее в точке 2 и равно -25. max f(x)=f(3) = 0min f(x) = f(2) = -25 [-1; 1]и [0; 3] [-1; 1]и [0; 3]

Выпуклость и вогнутость функций. График функции f(x) называется выпуклым вниз на интервале (a,b), если все точки графика лежат выше любой его касательной на этом интервале. Теорема. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f''(x)0 на интервале (a, b), то график функции на этом интервале направлен выпуклостью вниз.

Точки перегиба. Определение. Точкой перегиба графика дифференцируемой функции f(x) называется точка, при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости. Теорема. Если вторая производная функции f(x), т.е. f''(x), в некоторой точке x 0 обращается в нуль, а при переходе через эту точку меняет знак, то точка M(x 0, f(x 0 )) является точкой перегиба графика функции.

Пример: Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции y=x 3. Решение. Найдем первую и вторую производные функции y=x 3 : y'=3x 2, y''=6x. Приравняем y'' к нулю: 6x=0 в точке x=0. При x 0 производная y''>0. Таким образом, согласно теореме имеем точку перегиба M(0;0), причем на промежутке (–, 0) график функции направлен выпуклостью вверх, а на промежутке (0; +) – выпуклостью вниз.

Направление выпуклости функции может изменяться не только при переходе через точку перегиба, но и при переходе через точку разрыва. Например, график функции у = при x 0 – выпуклостью вниз

Практическое применение производной к исследованию функции Пример: Исследовать функцию y= f (x) = 3x 5 – 5x и построить ее график Схема исследования: 1. Найти область определения 2. Выяснить, является функция четной или нечетной 3. Найти точки пересечения с осями 4. Найти промежутки возрастания, убывания 5. Найти точки экстремума и значение функции в этих точках 6. Определить точки перегиба 7. Определить интервалы выпуклости и 8. вогнутости 9. Построить график

Пример: Исследовать функцию y=f(x)= 3x 5 – 5x и построить ее график. Решение: 1. D(y)=R 2. Функция ни четная, ни нечетная 3. Точки пересечения с осями: график f(x) пересекается с осью ординат в точке (0; 2). Найдем точки пересечения с осью абсцисс, для этого решим уравнение 3 х 5 – 5 х = 0, один из корней которого (х=1) легко находится. Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс находить не будем. 4. Промежутки монотонности: f (x) = 15x 4 – 15x 2 = 15 x 2 (x 2 -1) 5. Точки экстремума и значение функции в этих точках: x max = -1 x min = 1 f(-1) = 4f(1) = f f 10 х

Точки перегиба 6. Вторая производная равна Так как 7. То функция будет вогнутой И выпуклой

8. Построить график y=f(x)= 3x 5 – 5x х у

Заключение Мы с вами убедились, что при использовании производной значительно проще построить график любой функции, так как это позволяет определить все ее критические точки.

Задание для уяснения темы 1. Функция у=f(x) называется убывающей, если: 1) f(-x)=f(x) 2) f(-x)=-f(x) 3) а>b, то f(a)>f(b) 4) а>b, то f(a)

Литература Обязательная 1. Богомолов Н.В. Математика. Учебник М.: Юрайт, с. 2. Богомолов Н.В. Практические занятие по математике: учеб. пособие. М.: Юрайт, с Дополнительная 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Дрофа, Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики: учебное пособие. М.: Астрель, Щипачев В.С.Высшая математика. Учебник М.: Оникс Виленкин И.В.Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов: учебное пособие Ростов-на-Дону Феникс 2008 Электронные ресурсы: 1. Электронная библиотека Absotheue 2. БД Медицина 3. БД Мед Арт 4. Ресурсы Интернет