Основы теории управления Лекция 2 Математическое описание систем автоматического управления

Моделирование САУ Моделирование - исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений и конструируемых объектов. Модель – объект любой природы, который способен замещать изучаемый объект в интересующих исследователя свойствах. Модель процесса – некоторый другой процесс, имеющий с исходным общие свойства, что позволяет использовать модель для изучения свойств моделируемого процесса. Описание объекта – совокупность сведений об исследуемой системе и условиях, при которых необходимо провести исследование.

Физическое и математическое моделирование Физическое моделирование - вид моделирования, который состоит в замене изучения некоторого объекта или явления экспериментальным исследованием его модели, имеющей ту же физическую природу. Математическое моделирование. Метод изучения физических процессов путём изучения явлений, имеющих другую физическую природу, но описываемых теми же самыми математическими соотношениями.

Физическое моделирование Процессы, протекающие в модели и в оригинале, имеют одинаковую физическую природу. Физическая модель физически подобна реальной системе. Физическая модель может отличаться от оригинала размерами, скоростью протекания процессов или материалами, из которых она изготовлена. Физическая модель может наиболее полно воспроизвести такие свойства оригинала, которые при теоретическом изучении не могут быть учтены в полной мере. Теоретической базой физического моделирования является теория подобия. Теория подобия позволяет пересчитать количественные характеристики, полученные при изучении модели, в количественные характеристики подобия. При физическом моделировании необходимо для каждой конкретной системы создавать свою модель.

Математическое моделирование Метод изучения физических процессов путём изучения явлений, имеющих другую физическую природу, но описываемых теми же самыми математическими соотношениями. Математическая модель это математическое представление реальности. Является частным случаем понятия модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.

Основные этапы математического моделирования 1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. 2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время. 3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области. 4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности. 5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Виды математического моделирования Аналитическое моделирование. Процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений или логических условий. Имитационное моделирование. Реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования.

Разбиение САУ на звенья Система автоматического управления состоит из отдельных элементов. Каждый из элементов замкнутой автоматической системы соединён с другим элементом так, что его выходная величина является входной величиной другого элемента системы. Воздействия между отдельными элементами автоматической системы часто является односторонним, т.е. предыдущий элемент воздействует на последующий, не воспринимая заметного противодействия. Такие элементы называются элементами направленного действия. Для получения математического описания системы управления её разделяют на элементы направленного действия – звенья так, чтобы можно было сравнительно просто получить их математическое описание.

Звено САУ Звено – часть системы, которая осуществляет некоторое преобразование входной величины в выходную. Разбиение системы на звенья может не совпадать с разбиением системы на функциональные элементы. Звено системы автоматического управления – условно выделенный преобразователь сигналов направленного действия, который может частью элемента автоматики или состоять из нескольких таких элементов. В отличии от элемента автоматики, звено не обязательно должно быть оформлено конструктивно или выделено на схеме. Если разбить систему на звенья направленного действия, то математическое описание каждого звена может быть выполнено без учета его связей с другими звеньями системы.

Структурная схема Математическое описание всей системы в целом может быть получено как совокупность составленных независимо друг от друга уравнений звеньев системы и уравнений связи между звеньями. Уравнения связи – это уравнения, отражающие характер передачи воздействия между звеньями системы. Структурная схема – это схема, показывающая, из каких звеньев состоит система и как эти звенья соединены между собой.

Статические и динамические характеристики звена Уравнения, описывающие поведение звеньев системы автоматического управления, составляются на основе тех физических законов, которые характеризуют их поведение. Уравнения, описывающие поведение звеньев, могут быть алгебраическими, дифференциальными и интегральными. Статическая характеристика звена представляет собой зависимость между входной x и выходной y величинами в установившемся режиме при разных постоянных значениях внешнего воздействия f(t)=f. Динамическая характеристика звена (уравнение движения) определяет характер процесса перехода системы или звена из одного состояния в другое.

Статическая характеристика звена В зависимости от вида функции y=y(x) (уравнения зависимости выходного от входного значения) звенья разделяются на статические, обладающие статической характеристикой, и астатические, не имеющие статической характеристики. Статические характеристики делятся на 1) линейные, у которых функция y(x) в рассматриваемом диапазоне изменения x и y есть линейная функция y = ax + b (а и b – постоянные), и 2) нелинейные, у которых функция y(x) имеет более сложный вид.

Астатическое звено В общем случае зависимость установившегося значения выходной величины y от установившегося значения входной величины x является нелинейной. Угловой коэффициент, образуемый касательной к статической характеристике в любой точке касания, называется коэффициент усиления k 0 (k 0 =dy/dx). Значение коэффициента усиления служит мерой статизма звена. Если k 0 =, то звено называют астатическим. Астатическое звено при некотором значении входной величины x=x* находится в равновесии при любом значении выходной величины y. Точка статической характеристики, в которой касательная вертикальна, называется точкой астатизма.

Динамическая характеристика звена Статические характеристики звена (системы) описывают лишь поведение звена (системы) в установившемся режиме. Если на находящееся в некотором состоянии звено (систему) подействует некоторое возмущающее воздействие, то звено (система) начнет переходить в некоторое другое состояние. Уравнение движения – это уравнение (обычно дифференциальное), определяющее изменение во времени выходной величины звена по заданному изменению во времени его входной величины.

Дифференциальные уравнения звеньев Обобщенное уравнение системы: m,n,q – высший порядок производных аргументов x,y,f. На практике m

Принцип суперпозиции Если динамика звена описывается линейным дифференциальным уравнением, то звено называют линейным Если дифференциальное уравнение звена нелинейно, то такое звено называют нелинейным. Принцип суперпозиции. Для линейных звеньев характерно, что реакция звена на линейную комбинацию воздействий равна той же линейной комбинации реакций звена на каждое влияние в отдельности.

Линеаризация уравнений В связи с тем, что решение нелинейных уравнений в общем случае – задача значительно более сложная, чем решение линейного дифференциального уравнения, для упрощения исследования, когда это возможно, желательно заменить нелинейное дифференциальное уравнение приближенным линейным, решение которого с достаточной степенью точности описывает свойства исходной нелинейной системы. Процесс замены нелинейного уравнения линейным назевается линеаризацией. Если дифференциальное уравнение звена нелинейно из-за линейности его статической характеристики, то для линеаризации уравнения необходимо заменить нелинейную статическую характеристику y= (x) линейной функцией y=ax+b.

Процесс линеаризации Линеаризация осуществляется при помощи разложения в ряд Тейлора функции y= (x) в окрестности некоторой точки (x 0,y 0 ) статической характеристики и отбрасыванием всех слагаемых, содержащих отклонения в степени выше первой. Это означает замену кривой y= (x) её касательной в точке (x 0,y 0 ). Нелинейные статические характеристики звена, линеаризуемые таким образом в требуемом диапазоне изменения входной величины, называют несущественно нелинейными характеристиками.

Нелинеаризуемые характеристики В системах автоматики часто встречаются звенья, характеристики которых не поддаются линеаризации путём разложения в ряд Тейлора в окрестностях точки, соответствующей установившемуся состоянию. Такие характеристики называют нелинеаризуемыми или существенно нелинейными.

Составление дифференциальных уравнений САУ. Имея дифференциальные уравнения элементов системы и уравнения связей, можно получить дифференциальное уравнение всей системы управления. Это уравнение будет содержать только выходную координату, а также внешние воздействия. Зная внешние воздействия, приложенные к системе, и решив дифференциальное уравнение, можно найти реакцию системы управления на эти воздействия.

Литература Лотош М.М. «Основы теории автоматического управления»