МКОУ «Большеатлымская средняя общеобразовательная школа» Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон. А. Поуп Тема: «Производная и ее практическое применение»

Выполнил: Плотников Сергей, ученик 11 класса. Руководитель: Дедовец Надежда Артемовна, учитель математики С. Большой Атлым уч. год

Цель работы : Расширить область математических знаний. Развивать логическое мышление. Вывести общие формулы, позволяющие решать задачи дифференцирования. Показать, что производная широко применяется при решении задач из различных областей жизнедеятельности.

Объект исследования: область математики – дифференцирование. Задачи исследования: - собрать, изучить и систематизировать материал о производной; - рассмотреть, как производная используется при решении практических задач; - использование производной в различных сферах жизнедеятельности.

« Особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека, например, как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды ». П. Л. Чебышев

В Древней Греции задачи на отыскание наибольших и наименьших значений были достаточно популярны. Задачи такого типа содержатся в трудах Евклида и Архимеда. Но в древности и в средние века такие задачи решались геометрическими и механическими способами, не связанными общей идеей. Архимед (ок. 287 – 212 до н.э.) (ок до н. э.)

В 1638 году Пьер Ферма, используя алгебраические методы, сформулировал необходимое условие существования в точке экстремума. На современном языке оно звучит так: если производная в точке равна нулю или не существует, то в этой точке функция имеет экстремум. Пьер Ферма

И. Ньютон– великий английский физик, математик и астроном. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он описал закон всемирного тяготения и так называемые Законы Ньютона, заложившие основы классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление (автор знаменитого бинома Ньютона), теорию цветности и многие другие математические и физические теории. Исаак Ньютон доказал что путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых физикой, химией, биологией и техническими науками. Исаак Ньютон (1642 – 1727)

Г. Лейбниц– немецкий философ, математик, юрист, дипломат. Создал математический анализ – дифференциальное и интегральное исчисление, сформулировал основные понятия и четко указал на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. Создал комбинаторику как науку. Обосновал необходимость регулярно мерить у больных температуру тела. Привел доказательства существования подсознания человека. Готфрид Фридрих Лейбниц (1646 – 1716)

Связь между количественными характеристиками самых различ­ных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, техни­ческими науками, аналогична связи между путем и скоростью. Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, являются производная и интеграл. Как мы убедимся в дальнейшем, скорость это производная пути, а путь это интеграл от скорости. Построенная Ньютоном модель механического движения остается самым важным и простым источником математического анализа, изучающего производную и ее свойства. Вот почему на вопрос, что такое производная, короче всего ответить так: производная это скорость. V = S΄(t)

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. y ΄ = lim(Δy/Δx) при Δх 0

Применение производной: Применение производной: 1)Мощность – это производная работы по времени P = A' (t) P = A' (t) 2)Сила тока – производная от заряда по времени I = g' (t). I = g' (t). 3)Сила – есть производная работы по перемещению F = A' (x). F = A' (x). 4)Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q' (t). теплоты по температуре C = Q' (t). 5)Давление – производная силы по площади P = F'(S) P = F'(S) 6)Длина окружности – это производная площади круга по радиусу l окр =S' кр (R). круга по радиусу l окр =S' кр (R). 7)Темп роста производительности труда – это производная производительности труда по времени. 8)Успехи в учебе? Производная роста знаний. 9) Исследование функции на возрастание, убывание, экстремумы функции. экстремумы функции.

Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной примерно по та ­ кой же схеме, как в таблице. При исследовании свойств функции полезно найти: 1. область ее определения; 2. производную; 3. стационарные точки; 4. промежутки возрастания и убывания; 5. точки экстремума и значения функции в этих точках. Результаты исследования удобно записать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строим график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и, если необходимо, еще несколько точек графика.

Вычисление наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y(x)=x 3 -1,5x 2 -6x+1, на отрезке [-2;0]. 1) y / (x)=3x 2 -3x-6 2) y / (x)=0 при x=-1, x=2. 3) 2 не принадлежит [-2;0] 4) y(-2)=-1, y(-1)=4,5, y(0)=1 5) Наименьшее значение функции равно -1. Наибольшее значение функции равно 4,5.

Уравнение касательной y=f(x 0 )+f / (x 0 )·(x-x 0 ) f(x 0 ) – значение функции в заданной точке f / (x 0 ) – значение производной функции в x 0 x 0 – абсцисса точки, в которой проведена касательная

Производная является мощным средством решения прикладных задач. С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей: Инженеры технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей; Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.

Производная в экономике Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x x Исследовать потенциал предприятия. Решение: Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума. Вывод: Финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Производная в электротехнике Задача Задача: Количество электричества, протекающее через проводник, задаётся формулой q(t) = t +4/t. В какой момент времени ток в цепи равен нулю? Решение: I(t) = q ΄(t), Отсюда, t = 2 или t = -2; t = -2 не подходит по условию задачи. Ответ: t = 2.

Производная в химии и биологии скорость химической реакции в данный момент времени. v(t) = p(t) y = P(t) = x (t) - производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t, где у = x(t) - зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения

Задача. В тонком неоднородном стержне, имеющем длину 25 см, масса (в граммах) распределяется по закону, где l – расстояние в сантиметрах от начала стержня до любой его точки. Найти плотность стержня на расстоянии 4 см от начала стержня. Решение: ρ(l) = m΄(l) ρ(l)= 8l – 2, ρ(4) = 32 – 2 = 30 Ответ: 30 г/см 3 Производная в технике

Задача. Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 0° С до температуры t° (по Цельсию), известно, что в диапазоне от 0° до 95°, формула дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t. Решение: Производная в физике

Задача. Задача. Автомобиль приближается к мосту с начальной скоростью 72 км/ч (20 м/с). У моста висит дорожный знак «36 км/ч». За 7 сек до въезда на мост водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой S = (20t - t²)м/с? Решение: V = S'(t) S'(t) = 20 – 2t S'(7) = = 6 V = 6 (м/с). Скорость разрешаема, т. к. меньше 10(м/с). Производная в механике

Данная работа: Сформировала компетентности в сфере самостоятельной познавательной деятельности; Увеличила интерес к процессу познания на уроках математики; Научила применять полученные знания в других областях науки. Этой работой я хотел показать на примерах применение производной. Надеюсь, что тема раскрыта полностью и у меня нет более сомнений о полезности производной. Выводы: