Степенные функции, их свойства и графики

Степенные функции Степенными функциями называют функции вида y = x r, где r – любое действительное число. 1) Если r є N, имеем y = x n, т.е. y = x, y = x 2, y = x 3, y = x 4 и т.п.y = x 2y = x 3 2) Если r є N -, имеем y = x -n, т.е. y = 1 / x n, где х 0. y = 1 / x n 3) Если r = 0, имеем y = x 0, т.е. y = 1 где х 0. y = x 0

Степенные функции Рассмотрим степенные функции вида y = x r, где r = m / n. 1) Если r > 1, т.е. m > n, то графиком является кривая, проходящая через точки (0; 0) и (1; 1) и похожая на ветвь параболы. Чем больше r, тем круче устремлена кривая вверх.r > 1 2) Если 0 < r < 1, то имеем.0 < r < 1 3) Если r < 0, то график похож на ветвь гиперболы, имеет горизонтальную асимптоту y = 0 и вертикальную асимптоту x = 0. r < 0

Свойства: D(y)=R Нечётная Возрастает на R Не ограничена Не имеет наибольшего и наименьшего значения Непрерывна E(y) = R

Свойства: D(y)=R Чётная Возрастает на [0; +), убывает на (-; 0]. Ограничена снизу Не имеет наибольшего значения, наименьше значение y = 0 (при х = 0) Непрерывна E(y) = [0; +) Выпукла вниз

Свойства: D(y)=R Нечётная Возрастает на R Не ограничена Не имеет наибольшего и наименьшего значения Непрерывна E(y) = R Выпукла вниз на [0; +), выпукла вверх на (-; 0]

Свойства: D(y) = (-; 0) U (0; +) Чётная Возрастает на (-; 0), убывает на (0; +) Не ограничена Не имеет наибольшего и наименьшего значения Имеет разрыв в точке х = 0 E(y) =(0; +) Выпукла вниз на (-; 0), на (0; +) Асимптоты x=0 и y=0

Свойства: D(y) = (-; 0) U (0; +) Нечётная Убывает на (-; 0), на (0; +) Не ограничена Не имеет наибольшего и наименьшего значения Имеет разрыв в точке х = 0 E(y) = (-; 0) U (0; +) Выпукла вниз на (0; +), выпукла вверх на (-; 0) Асимптоты x=0 и y=0

Свойства: D(y) = (-; 0) U (0; +) Чётная Не убывает, не возрастает Не ограничена Не имеет наибольшего и наименьшего значения Имеет разрыв в точке х = 0 E(y) = {1}

Свойства: D(y) = [0; +) Ни чётная ни нечётная Возрастает на [0; +) Ограничена снизу Наименьшее значение y = 0 (при х=0) Непрерывна на [0; +) E(y) = [0; +) Выпукла вниз на [0; +)

Свойства: D(y) = [0; +) Ни чётная ни нечётная Возрастает на [0; +) Ограничена снизу Наименьшее значение y = 0 Непрерывна на [0; +) (при х=0) E(y) = [0; +) Выпукла вверх на [0; +)

Свойства: D(y) = (0; +) Ни чётная ни нечётная Убывает на (0; +) Не ограничена Непрерывна на (0; +)E(y) = (0; +) Выпукла вниз на (0; +)Асимптоты х = 0 и у = 0

Дифференцируемость степенной функции ТЕОРЕМА: Если х > 0 и r – любое рациональное число, то производная степенной функции y = x r вычисляется по формуле (x r ) = r x r-1. ПРИМЕР: (x 2,5 ) = 2,5 x 2,5-1 = 2,5 x 1,5