Лекция 12 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ Ввиду наличия заряженной и нейтральной компонент плазма обладает большим числом колебаний и волн, некоторые из которых свойственны также газообразным средам, а другие присуще исключительно плазме. Наиболее простые колебания заряженных частиц в плазме были открыты Ленгмюром. Колебания и волны в плазме, находящейся магнитном поле имеют свою специфику и отличия. Изучение распространения электромагнитных волн в плазме и их отражения от поверхности плазмы представляют собой важные проблемы, необходимые для успешной радиосвязи как в пределах Земли, так и с космическими аппаратами. От присутствия колебательных и волновых процессов во многом зависит устойчивость плазмы в ряде термоядерных установок и газоразрядных устройств. Большой интерес исследователей привлекают нелинейные волны – солитоны, обнаруженные в плазменных средах.

Рассмотрим наиболее простой вид электронных колебаний в плазме – ленгмюровские колебания. Предположим, что температура плазмы мала, и тепловым движением заряженных частиц можно пренебречь. Пренебрежем также столкновениями частиц между собой. Рис.1 Будем считать ионы неподвижными, и допустим, что произошло смещение электронного слоя (рис.1). Избыточный заряд в возмущенном слое выразится в виде: Где n 0 – невозмущенная электронная концентрация, S – площадь данного слоя. невозмущенная плазма избыток электронов x 0 x x x0x0 отсутствие электронов

Для возмущенного электронного слоя справедливо уравнение Пуассона: В одномерном случае уравнение запишется в форме: После интегрирования данного выражения напряженность электрического поля в промежутке от 0 до x 0 запишется в виде: Запишем уравнение движения электрона под действием электрической силы: Если поделить все выражение на массу электрона, то можно прийти к уравнению колебаний:

Колебания происходят с частотой плазменных или ленгмюровских колебаний p : В более сложном выводе с использованием уравнений гидродинамики присутствует концентрация плазмы в виде: Где n – возмущенное значение концентрации при наличии колебаний. Для уравнения относительно n также получается уравнение колебаний с плазменной частотой p : Данные продольные колебания электронной плотности можно наблюдать в различных видах газовых разрядов при подаче на один из электродов импульса возбуждения.

В некоторых случаях в плазме могут возбуждаться продольные волны, имеющие схожесть с волнами в газовых средах, поэтому приведем краткое описание вывода волн в газе. В качестве исходных обычно используются уравнение непрерывности и уравнение Эйлера: Где -плотность газа, -его скорость, p -давление Окончательные уравнения записываются для данного потенциала, или для возмущенного значения давления p ( ):

В одномерном случае приходят к волновому уравнению для возмущенного значения давления: Для скорости звука в газе записывается выражение: Где m 0 –масса атома, C p –теплоемкость при постоянном давлении, C V – теплоемкость при постоянном объеме. Рассмотрим теперь волны в плазме при учете теплового движения электронов. Пренебрежем электрон-ионными столкновениями. Запишем уравнение движения электрона при наличии слагаемого, учитывающего градиент давления:

При использовании выражения для давления идеального газа, слагаемое с градиентом давления будет записано в виде: Для электрического поля в одномерном случае, как и при ленгмюровских волнах, можно записать: Также используется уравнение непрерывности в одномерном случае: Окончательный вид уравнения для возмущенного значения концентрации плазмы n будет следующий:

Полученное выражение является уравнением типа Клейна–Гордона, в котором присутствует плазменная частота p и множитель сходный с тепловой скоростью электронов v e : Решение данного уравнения ищется в виде: Где -частота и k –волновое число. После подстановки в волновое уравнение можно прийти к следующему дисперсионному соотношению:

Обычно выражение данного типа устанавливает связь между частотой и волновым вектором в волне. С помощью дисперсионного уравнения можно найти выражения для фазовой и групповой скоростями волны. Фазовая скорость волны определяется по формуле: Для групповой скорости записывается выражение: Показатель преломления и диэлектрическая проницаемость плазмы выражается в виде:

Следует заметить, что последнее выражение имеет смысл только при частотах больших плазменной частоты > p. Рассмотрим распространение электромагнитных волн через плазму. Предположим, что плазма однородная и пренебрежем электрон-ионными столкновениями. Допустим, что на границу плазмы из вакуума падает плоская поляризованная электромагнитная волна (рис.2). Рис.2 Уравнение движения электрона в поле волны можно записать в виде: Электрическое поле в волне представляется в виде: ByBy kzkz ExEx y z x плазма вакуум волна

Подставим выражение для поля в уравнение движения: Зависимость для координаты электрона запишется следующим образом: В результате электрон будет совершать колебательные движения с частотой электрического поля волны. Представим электрический дипольный момент единицы объема: Его связь с электрическим полем и диэлектрической проницаемостью будет следующей:

Запишем выражение для диэлектрической проницаемости: Показатель преломления выражается в виде: Ввиду данных формул для диэлектрической проницаемости плазмы и ее показателя преломления можно выделить два случая: 1) - в плазме распространяются электромагнитные волны и диэлектрическая проницаемость принимает значения в диапазоне от 0 до 1 (рис.3), что свойственно исключительно плазменным средам. Следует напомнить, что выражение для показателя преломления в оптически прозрачных твердых средах больше единицы.

Рис.3 2) - волны в плазме затухают и распространяются на глубину скин-слоя: Величина электрического поля в плазме при этом будет уменьшаться по закону: От границы плазмы в этом случае происходит отражение электромагнитной волны. Данный эффект имеет большое значение при отражении радиоволн от ионосферы. Найдем дисперсионное соотношение и скорости электромагнитных волн (фазовую и групповую). Запишем выражение для волнового вектора: =n p

Подставим его в соотношение для диэлектрической проницаемости плазмы: В результате дисперсионное уравнение будет иметь вид: Для фазовой и групповой скоростей можно получить соотношения: При сравнении с подобными выражениями для волн в плазме можно обратить внимание, что вместо тепловой скорости v e в данных формулах присутствует скорость света с.