Некоторые именные теоремы о треугольниках Борд Лиза 10 М Учитель : Муравьёва Анна Петровна

Теорема Чевы Три чевианы AA 1,BB 1,CC 1 треугольника проходят через одну точку тогда и только тогда, когда

Теорема Менелая Если точки A 1,B 1 и C 1 лежат соответственно на прямых BC,CA и AB треугольника или на их продолжениях, то они лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда A BC A1A1 B1B1 C1C1

Задача 1 Доказать, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центроидами противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 3:1, считая от вершин.

Задача 1 Для A 1 DD 2 и прямой AA 2 по теореме Менелая : Так как A 2 – центроид BCD, то Так как D 2 – центроид ABC, то Поэтому

Задача 1 Проведём теперь медиану CC 1 и отрезок CC 2. Допустим что CC 2 пересекает DD 2 в точке O 1. Докажем что О и О 1 совпадают. СС 1 С 2 и прямая DD 2 =>CO:OC2=3:1 О

Задача 1 Аналогично для АА 1 А 2 и прямой DD 2 =>AO:OA2=3:1 Для BB 1 B 2 и прямой DD 2 =>BO:OB 2 =3:1 Замечание : Для правильного тетраэдра его центроид является центром вписанных и описанных шара и сферы.

Теорема Ван - Обеля Пусть на сторонах АВ, ВС и АС взяты соответственно точки С 1, А 1 и В 1. Если прямые АА 1, ВВ 1 и СС 1 пересекаются в точке О, то имеет место равенство

Доказательство Построим А 2 В 2 ΙΙАВ OCB 2 ~OC 1 B; OCA 2 ~OC 1 A; OA 2 B 2 ~OAB => A 2 CA 1 ~ABA 1 ; CB 2 B 1 ~ABB 1 => Следовательно, А В С А1А1 В1В1 С1С1 А2А2 B2B2 О

Задача 2 В каком отношении делятся биссектрисы треугольника точкой их пересечения ? Поэтому, используя теорему Ван - Обеля находим

Теорема Стюарта Пусть в ABC AB=c, BC=a, AC=b, точка D делит сторону AB на отрезки AD=c 1, BD=c 2 ; CD=d. Тогда имеет место равенство A B C D α ab d c1c1 c2c2 c

Доказательство Пусть CE – высота в АВС. Тогда cos α =DE/d. Умножим первое равенство на с 2, второе на с 1 и сложим Из этого получаем A B C DE α ab d c1c1 c2c2 c

Задача 3 Вычислить биссектрису СС 1 АВС по его сторонам АВ = с, АС =b, ВС = а. Биссектриса СС 1 делит сторону АВ на отрезки АС 1 = с 1 и ВС 1 = с 2. Тогда с 1 + с 2 = с и ac 1 =bc 2. Подставим эти равенства в равенство теоремы Стюарта Отсюда c A B C ab c1c1 c2c2 С1С1

Годы жизни Чева Джованни ( ) – итальянский инженер, гидравлик и геометр. Доказал теорему в 1678 году. Менелай Александрийский (1 в.) – древнегреческий астроном и математик. Автор работ по сферической тригонометрии. Арабские авторы упоминают также о книге Менелая по гидростатике. М. Стюарт (Stewart Matthew ) – английский математик, опубликовавший теорему в 1746 в труде « Некоторые общие теоремы ».