Лекция 3-4 Динамика частицы Закон сохранения импульса 22/02/2014 Алексей Викторович Гуденко

План лекции Инерциальные системы отсчёта (ИСО) Законы Ньютона. Вес тела, невесомость. Закон сохранения импульса. Импульс силы Теорема о движении центра масс. Движение тел с переменной массой. Реактивное движение. Формула Циолковского.

Демонстрации 1 Воздушная дорога – свободные тела. Массы тел. Наклонная плотность с магнитным (вязким) торможением Наклонная плоскость с сухим трением, критический угол. Диамагнитная левитация – невесомость???

Демонстрации 2 Воздушная дорога. Теорема о движении центра масс. Закон сохранения импульса. Стакан с водой на листе бумаги Гиря на нитке Сосновая планка на бумажных кольцах Эфирная пушка

Динамика Динамика – это раздел механики, изучающий законы взаимодействия тел. Сила – мера интенсивности взаимодействия тел, проявляющаяся в изменении их количества движения. В основе классической динамики лежат три закона Ньютона. 1. Закон инерции, определение инерциальной системы отсчёта (ИСО). 2. Уравнение движения материальной точки: в ИСО a = F/m 3. Сила действия равна силе противодействия F 12 = - F 21 Ньютоновская, или классическая нерелятивистская механика – это механика малых (по сравнению со скоростью света) скоростей и больших (по сравнению с массами атомов) масс.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) ИСО – система отсчёта, связанная со свободным телом. Свободное тело – это тело, настолько удалённое от всех других тел, что не подвержено действию внешнеееееих сил. Как отличить ИСО от неИСО? ключевой эксперимент: в ИСО свободное тело движется с постоянной скоростью (по инерции). Инерциальных СО - сколько угодно. Все они движутся относительно друг друга равномерно-поступательно. Чем хороши ИСО? В ИСО явления природы выглядят наиболее просто.

Принцип относительности Галилея Принцип относительности: механические явления протекают одинаково во всех инерциальных СО законы механики одинаковы во всех ИСО Все ИСО по своим механическим свойствам эквивалентны. Не существует выделенной ИСО. Уравнения динамики инвариантны по отношению к преобразованию координат Галилея Преобразование Галилея (K движется вдоль оси OX): x = x + v 0 t; y = y; z = z; t = t

Галилео Галилей (1564 –1642) итальянский физик, механик и астроном. Принцип относительности: «Дайте движение кораблю, и притом с какой угодно скоростью; тогда (если только движение его будет равномерным, а не колеблющимся туда и сюда) вы не заметите ни малейшей разницы» Закон инерции: «…если бы все сопротивления были уничтожены, то его (тела) движение было бы вечно равномерным, если бы плоскость простиралась в бесконечность» («неистребимо запечатлённое движение»). В 1992 папа Иоанн Павел II объявил решение суда инквизиции ошибочным и реабилитировал Галилея.

Примеры инерциальных систем отсчёта Геоцентрическая СО – система связанная с Землёй – приблизительно инерциальная СО: инерциальность «портит» ускорение, возникающее из-за с суточного вращения: 1. a = ω 2 R = 0,34 м/с 2 1 кг на экваторе «легче», чем 1 кг на полюсе на 0,34 г. 2. При падении с высоты 100 м камень отклоняется к востоку на ~ 1 см (на экваторе). 3. Маятник Фуко: в наших широтах плоскость качаний поворачивается на ~ 10 0 за час. 4. Звёзды (свободные тела) вращаются по окружностям, а значит с центростремительным ускорением Гелиоцентрическая СО (система Коперника): начало – в центре Солнца, оси – на далёкие звёзды.

Маятник Фуко (1851 г.) Задача Капицы: Астрономические наблюдения показывают, что на планете Венера полная облачность, так что «жители» Венеры лишены возможности наблюдать небесные светила. Опишите, каким методом они могли бы точно измерить длину своих суток. маятник Фуко Московского планетария: длина нити 16 метров, массой шара 50 килограммов Московского планетария

Первый закон Ньютона – закон инерции = def ИСО Системы отсчёта (СО), в которых свободное тело движется равномерно, называются инерциальными СО системы называются инерциальными.

Второй закон Ньютона В инерциальной системе отсчёта скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе: dp/dt = F mdv/dt = F ma = F md 2 r/dt 2 = F – уравнение движения Состояние материальной точки однозначно определяется начальными условиями и уравнением движения.

Третий закон Ньютона Силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по величине и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющий эти точки: F 12 = - F 21 Силы взаимодействия всегда возникают парами; обе силы приложены к разным точкам (телам) и являются силами одной природы.

Фундаментальные взаимодействия Фундаментальные взаимодействия: 1) гравитационное; 2) электромагнитное; 3) сильное или ядерное (обеспечивающее связь частиц в ядре); 4) слабое (ответственное за многие процессы распада элементарных частиц)

Силы в механике 1. Однородная сила тяжести (гравитационная природа): F = mg, g = GM/R 2 = 9,8 Н/кг = 9,8 м/с 2 – ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли. 2. Упругая сила, пропорциональная величине деформации x (закон Гука): F упр = - kx = - k(l – l 0 ), k – коэффициент жёсткости. 3. Сила трения скольжения: F = μN, μ – коэффициент трения, зависящий от природы соприкасающихся поверхностей. F направлена вдоль соприкасающихся поверхностей против скорости. 4. Силы вязкого трения: F = - kv, k – определяется геометрическими размерами тела и вязкостью среды 5. Сила лобового сопротивления F = βSv 2

Применение законов динамики Вес тела в лифте. Невесомость. Перегрузка. Автомобиль на выпуклом (вогнутом) мосту. «Мёртвая петля». Спутник на орбите. Наклонная плоскость с трением. Критический угол. Трение покоя, или как удержать тонну. Верёвка, навитая на столб, или как удержать 1 т груза (2.56): μ = 1/π; T = H. Наклонная плоскость с магнитным (вязким) торможением.

Вес тела. Невесомость. Перегрузка. Вес тела – это сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на неподвижную относительно тела опору или подвес. На рисунке - вес тела P = - N Ускорение вверх: mg + N = ma - mg + N = ma N = m(g + a) P = N = m(g + a) Ускорение вниз: mg + N = ma - mg + N = - ma N = m(g - a) P = N = m(g – a) P = m(g – a) Перегрузка: k = P/mg Невесомость возникает, если тело движется под действием только силы тяжести: a = g P = 0 Искусственная невесомость: свободное падение, полёт по баллистической траектории, магнитная левитация

Лауреаты Нобелевской премии по физике 2010 года – выпускники Физтеха Нидерландский физик Андрей Гейм (МФТИ, ФОПФ, 1982 г.) и британский физик Костя Новосёлов (МФТИ, ФФКЭ, 1997 г.) Нобелевская премия присуждена за открытие и исследование графена – мономолекулярного слоя графита с уникальными электронными, механическими и оптическими свойствами

Магнитная микрогравитация. Фотографии из статьи: Geim A. Everyone`s Magnetism, Physics Today, September 1998.

Магнитная левитация живого организма. Андрей Гейм. Шнобелевская премия (2000 г.) Фотография из статьи: Geim A. Everyone`s Magnetism, Physics Today, September Левитирующая в магнитном поле лягушка

Левитация карандашного грифеля Грифель диаметром d = 0,5 мм из автоматического карандаша левитирует над сильным постоянным магнитом

Импульс частицы p = mv Изменение импульса = импульсу силы: dP = Fdt P = mv – импульс частицы dp = Fdt Δp = Fdt - приращение импульса частицы равно импульсу силы Импульс, приобретаемый телом, определяется силой и временем её действия ΔP = Fdt = F ср Δt Демонстрации Стакан с водой на листе бумаги Гиря на нитке Сосновая планка на бумажных кольцах

Импульс системы частиц P = Σp i импульс системы частиц P = Σp i dP/dt = Σdp i /dt = ΣF i внутр + ΣF i внешнеееее = ΣF i внешнеееее = F внешнеееее Производная импульса системы частиц по времени равна векторной сумме всех внешнеееееих сил, действующих на частицы системы. Изменение импульса системы равна импульсу результирующей всех внешнеееееих сил: ΔP = F внешнеееее dt

Закон сохранения импульса Замкнутая или изолированная система тел – система тел, взаимодействующих только друг с другом, и не взаимодействующих с другими телами. Импульс замкнутой системы тел остаётся постоянным при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Закон сохранения импульса: опыт на воздушной дороге Ключевой опыт: при столкновении двух тел |Δv 1 |/|Δv 2 | = m 2 /m 1 – не зависит способа взаимодействия и интенсивности взаимодействия m 1 Δv 1 = - m 2 Δv 2 m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 Закон сохранения импульса: полный импульс замкнутой системы двух взаимодействующих частиц сохраняется: P = P 1 + P 2 = const

Центр масс системы. Терема о движении центра масс Центра масс: r c = (m 1 r 1 + m 2 r 2 + …+m n r n )/(m 1 + m 2 + …+m n ) r c = Σm i r i /m; m = Σm i – масса системы Скорость Центра масс: v c = Σm i v i /m = P/m Импульс системы: P = Σm i v i = mv c – импульс системы равен произведению массы системы на скорость её центра масс mdv c /dt = F внешнеееее Теорема о движении Центра масс: Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – сумме внешнеееееих сил

Центр масс замкнутой системы Центр масс замкнутой системы частиц движется равномерно и прямолинейно. Инерциальная СО, связанная с центром масс замкнутой системы называется системой центра инерции, или С-системой. В С-системе полный импульс системы равен нулю

Теорема о движении центра масс. Примеры и демонстрации Воздушная дорога (демонстрация): 1. взаимодействие тележки с двойной тележкой, соединённой пружинкой. 2. Колебания двойной тележки. Центр масс разорвавшегося на множество осколков снаряда продолжает двигаться по параболической траектории. Муха в пробирке. Задача о рыбаке и лодке.

Муха в пробирке ( 3.4) Массы мухи и пробирки одинаковы M = m Длина пробирки L Время падения пробирки t = ? Решение: (M + m)dV c /dt = (M + m)g dV c /dt = g V c = gt S = ½L = gt 2 /2 t = (L/g) 1/2

Движение тел с переменной массой. Реактивное движение Закон сохранения (изменения) импульса: (m + dm)(v + dv) + v газ dm газ - mv = Fdt dm газ = -dm; v газ = v + u mdv/dt = u dm/dt + F = -μu + F основное уравнение динамики точки с переменной массой или уравнение Мещерского. F р = -μu – реактивная сила

Формула Циолковского F = 0 mdv/dt = - u dm/dt v = uln(m 0 /m), или m 0 /m = e v/u – формула Циолковского В поле тяжести: v = uln(m 0 /m) – gt dv/dt = 0 (ракета зависла): F р = mg m = m 0 e -gt/u μ = (m 0 g/u) e -gt/u

Константин Эдуардович Циолковский (1857 – 1935) – основоположник современной космонавтики Константин Эдуардович Циолковский - русский и советский учёныйучёный-самоучка, исследователь,самоучка школьный учитель. Основоположник современной космонавтики.космонавтики Обосновал вывод уравнения реактивного движения, пришёл к выводу о необходимости использования «ракетных поездов» прототипов многоступенчатых ракет. Автор работ по аэродинамике, воздухоплаванию и другим наукам.

Расчёт запаса топлива для разгона до первой (второй) космической скорости V I = (gR) 1/2 = 7,9 км/с V II = (2gR) 1/2 = 11,2 км/с U ~ 2 км/с – скорость истечения газов V I : m 0 /m = e v/u ~ 52 m/m 0 ~ 2% V II : m 0 /m = e v/u ~ 270 m/m 0 ~ 0,4%