Вычисление площади сечений многогранников Автор: Пинжина Дарья Владимировна, учащаяся 11 класса МБОУ «Средняя общеобразовательная школа 14» Руководитель: Голос Галина Ивановна, учитель математики-информатики первой квалификационной категории МБОУ «Средняя общеобразовательная школа 14» ГОРОДСКАЯ У ЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ «ЗА СТРАНИЦАМИ ТВОЕГО УЧЕБНИКА»

Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. Д. Сантаяна.

Проблематика Задачи на вычисление площади сечений многогранников являются комплексными. В связи с этим наибольшие трудности вызывает решение задач по стереометрии. Причина – недостаточный уровень сформированности образного мышления и пространственных представлений.

Цель: развитие образного мышления и пространственных представлений посредством решения задач стереометрии, в частности, задач на построение сечений и вычисление площади полученных сечений многогранников. Задачи: анализ теоретического материала; применение ранее разработанных алгоритмов для построения сечений многогранников; классифицирование видов сечений, встречаемых в учебной литературе и методов по вычислению площади данных сечений; практическое применение рассмотренных методов к решению задач на вычисление площади сечений. Методы исследования: поисковый, описательный, практический, моделирование.

Классификация задач на вычисление площади сечений многогранников задачи, в которых описание построения сечения не требуется, так как является «очевидным», а вычисление площади полученных сечений не вызывает затруднений (задачи базового уровня); задачи, в которых описание построения сечения требуется и основной типовой задачей на данную тему в школьной программе является построение сечения по трем точкам, заданным на поверхности многогранника, принадлежащим секущей плоскости (задачи повышенного уровня сложности и задачи ЕГЭ).

Методы построения сечений многогранников 1)Метод следов 2)Метод вспомогательных сечений (метод внутреннего проецирования) 3)Комбинированный метод S1 S2 Недостаток метода следов Недостаток метода вспомогательных сечений

Методы вычисления площади сечений 1. Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров (для пирамид, в которых плоскость сечения параллельна основанию): 2. Сумма площадей простых фигур, на которые разбивается многоугольник, полученный в сечении: 3. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость., где

B C A A1 C1 B1 D D1 E S1 F S2 E1 Задача 2 Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – прям. призма Найти: S DD 1 E 1 FE

B C A A1 C1 B1 D D1 E E1 F E2 N Вычисление площади (с использованием теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника) M Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – прям. призма Найти: S DD 1 E 1 FE Ответ:

Заключение Выводы по исследовательской работе: 1)решение задачи на построение сечения всегда возможно и единственно; 2) количество вершин многоугольника сечения может изменяться от 3 до n+1 – для пирамиды и до n+2 – для призмы, где n – количество вершин основания многогранника; 3) разнообразие способов задания секущей плоскости не позволяет применять при построении сечения какой- нибудь один универсальный способ, а при вычислении площади сечений руководствоваться одним универсальным методом.

S D B A C E K F S1 N M S2 K Задача 1

S D B A C F E M K N O L G P Q Вычисление площади (без использования теоремы о площади ортогональной проекции) Ответ: Дано: SABCD– прав. пирамида SQ-апофема, SQ=2 Найти: S EMKNF

F S D B A C E K E2E2 F2F2 (F1) (E1) Q T M N Метод внутреннего проецирования «Скученность»

S D B A C F E M K N O L M2 N2P Вычисление площади (с использованием теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника) Ответ: Дано: SABCD– прав. пирамида SQ-апофема, SQ=2 Найти: S EMKNF G

B C A A1 C1 B1 D D1 E M M1 E1 F K N Вычисление площади (без использования теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника) Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – прям. призма Найти: S DD 1 E 1 FE Ответ:

Спасибо за внимание!