Решение каждой последующей задачи зависит от предыдущей. Имеет ли задача решение ? Разумно ли решать эту задачу самим ? Можно ли воспользоваться уже предложенным способом решения ? Нужно ли решать именно эту задачу ? Общие подходы к решению задач

Задача 1 Решить уравнение в целых числах : xyz(x 3 - у 3 )(y 3 - z 3 )(z 3 - x 3 ) =0 Задача 2 Существуют ли натуральные числа х и у такие, что x у 1988 = Задача 3 Лист бумаги разрезать на 4 части. Затем каждый лист вновь разрезали на 4 части и т. д. Докажите, что после 26 таких разрезаний все полученные листы одного можно разделить поровну на 5 групп. Требуется решить задачи

Задача 4 Укажите среди чисел вида (4k - 4) какие - нибудь три кратные 10 ( к - натуральное число ) Задача 5 Найти последнюю цифру числа 3 20 ; ; Задача 6 Доказать, что 2,6 * (26 n -1) - целое при любом натуральном n необходимо ; а ) Догадаться, что число всегда оканчивается 26 n ( при натуральном n) на 6, а поэтому 26 n - 1 оканчивается на 5; б ) Заметить, что при умножении 2,6 на целое число, оканчивающееся нар получается целое число.

В итоге решения задачи 6 рекомендовать следующие : а ) целое число m оканчивается цифрой 6. Какой цифрой будет оканчивается число m 2 +1; m 8 -4; m ? б ) назовите такие числа, любая I натуральная степень которых оканчивается той же цифрой, что и само число. в ) найдите какие - нибудь значения, при котором число р 2 +1 делится без остатка на 5.

Задача 7 Верно ли, что при любом нечётном а число (100+ а ) 5 +1 всегда будет составным. Задача 3 Лист бумаги разрезать на 4 части. Затем каждый лист вновь разрезали на 4 части и т. д. Докажите, что после 26 таких разрезаний все полученные листы одного можно разделить поровну на 5 групп. Чтобы подвести обучающейся к выводу формулы , выражающей количество листов бумаги в пяти группа, полезно процесс деления данного листа представить наглядно

Задача 8 Верно ли утверждение : а ) квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой ; б ) куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой ; в ) четвёртая степень натурального числа может оканчиваться только одной из цифр 0,1,5,6; г ) пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число ?

Таблица степеней числа n n2n n3n n4n n5n

Задача 9 Какими цифрами оканчиваются числа вида : а ) 7 4k + 1 ; б ) 8 4k + 3, где k натуральное число ? Задача 10. Какой цифрой оканчивается число : а )7 43 ; б ) ?

Задача 11. Существует ли способ позволяющий определить последнюю цифру степени целого числа с натуральным показателем не более, чем на 3 шага ? Алгоритм : Найти остаток от деления показателя степени на 4, если остаток равен : а ) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени б ) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания ; в ) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания ; г ) 0, то для всех нечётных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра 1, а для чётных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6.

Задача 1. Легко понять, что куб любого числа при делении на 7 даёт остатки 0,1 или 6. Кроме того проверкой можно убедиться, что число не делится на 7, потому, если хотя бы одно из числе x, y, z делится на 7 то уравнение решения не имеет. Пусть теперь ни одно из этих чисел не кратно 7, но тогда, по принципу Дирихле, по крайней мере два при возведении в куб дают одинаковые остатки при делении на 7, но тогда снова выражение xyz(x 3 - у 3 )(y 3 - z 3 )(z 3 - x 3 ) делится на 7, а потому уравнение решений не имеет.

Задача 2. x y 1988 = Остаток от деления показателя степени 1988 на 4 равен на равен 3, поэтому оканчивается цифрой 8. Сумма х y 1988 может оканчиваться цифрой. а ) 2 при x и y – чётных и нечетных ( кроме чисел, оканчивающихся на 5). б ) 6, если x и y – нечетные, но одно из них оканчивается цифрой 5. в )1, если одно из них четное, а другое – нечетное, оканчивается цифрой 6. Значит таких числе x и y не существует.

Рекомендации к решению олимпиадных и творческих задач Не искать сложного в условии. Вычленить и отсечь лишнее в условии. Выделить главное. Смодерировать условие. Перевести условие на другой язык ( чертеж, график, рисунок, математическая модель ). Разбить на подзадачи. Учесть, что уже было сделано.

Грибачева Вера Георгиевна, учитель математики высшей квалификационной категории. г. Ангарск, МБОУ « Гимназии 8», 2013 Автор работы :