Теорема Виета. Автор: учитель математики Петрова С.В.

Теорема Виета Если приведенное квадратное уравнение имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней этого уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Иначе говоря, если и - корни уравнения,то Эти формулы называют формулами Виета в честь французского математика Ф.Виета ( ), хотя о связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения знали уже математики Древнего Вавилона и Древнего Египта.

Франсуа Виета Родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт французской провинции Пуату Шарант. Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем в университете Пуатье, где получил степень бакалавра. С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе. Около 1570 года подготовил «Математический Канон» труд по тригонометрии, который издал в Париже. В 1571 году переехал в Париж и вскоре перешёл на государственную службу, но увлечение его математикой продолжало расти. Когда в результате придворных интриг Виет был на несколько лет устранён от дел, он полностью посвятил себя математике. Итогом его размышлений стали несколько трудов, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики» символический язык алгебры. При жизни Виета была издана только часть его трудов. Главное его сочинение: «Введение в аналитическое искусство», которое он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел. Есть некоторые указания, что учёный умер насильственной смертью. Сборник трудов Виета был издан посмертно

Доказательство теоремы: Приведенное квадратное уравнение в общем виде принято записывать так:. Пусть уравнение имеет два корня: и,где Найдем их сумму и произведение:

Таким образом, теорема доказана.

Используя теорему Виета, легко вывести соответствующие формулы и для квадратного уравнения общего вида. В самом деле, разделив обе части уравнения на a, получим приведенное квадратное уравнение имеющее те же корни. Отсюда и

По теореме Виета, не вычисляя сами корни, можно найти их сумму и произведение. Соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяют в некоторых случаях находить его корни устно, не прибегая к формуле корней.

Обратная теорема Виета Если числа m и n таковы, что m +n= -p, а mn=q, то числа являются корнями уравнения

Чтобы доказать эту теорему, выразим коэффициенты уравнения через m и n: и Значит, уравнение можно записать в таком виде: Подставим в уравнение вместо x поочередно числа m и n: Таким образом, эти числа - корни уравнения.

Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета. Проверка правильности найденных корней. Определение знаков корней квадратного уравнения. Устное нахождение целых корней приведенного квадратного уравнения. Составление квадратных уравнений с заданными корнями. Разложение квадратного трехчлена на множители.