Тема 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ §1.1. Пространство и время – фундаментальные физические понятия

Пространство и время – фундаментальные физические понятия

Диапазон расстояний во Вселенной Радиус ядра Радиус вируса Радиус атома Размер крупинки соли Рост человека Останкинская башня Земля - Луна Земля - Солнце Ближайшая звезда Радиус нашей Галактики Ближайшая Галактика Москва -Киев Границы Вселенной м

Свойства пространства Непрерывность Непрерывность

Непрерывность: в пространстве нет разрывов в любой его части по любому направлению.

Свойства пространства Непрерывность Однородность

Однородность: вдоль любого из направлений свойства пространства неизменны.

Непрерывность Непрерывность Однородность Однородность Изотропность Изотропность

Изотропность: свойства пространства одинаковы по всем направлениям.

Свойства пространства Непрерывность Непрерывность Однородность Однородность Изотропность Изотропность Трехмерность Трехмерность

Трёхмерность: положение любой точки в пространстве относительно выбранной точки отсчета определяется совокупностью трёх чисел - координат.

Диапазон временных интервалов во Вселенной Свет пересекает ядро Свет проходит размер атома Колебание молекулы Период радиоволны Удар сердца 1 день Жизнь человека Первобытный человек Возраст Земли Возраст Вселенной с

Свойства времени Непрерывность Непрерывность Однородность Однородность Однонаправленность Однонаправленность

Тема 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ §1.2. Система отсчета. Радиус-вектор материальной точки. Закон движения материальной точки

СИСТЕМА КООРДИНАТ x z y Масштаб 1 м 0 Тела отсчета

Систему координат можно «привязать» к разным точкам отсчета, принадлежащим одному телу: x z y Масштаб 1 м 0

Система отсчета (СО): система координат + часы x z y 0

Материальная точка - тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Радиус-вектор материальной точки (МТ) x z y xАxА yАyА zАzА A rArA i j k 0 Введём единичные векторы координатных осей (орты): Радиус-вектор МТ связан с её координатами: По правилу сложения векторов: По определению, модули единичных векторов: Дважды применив теорему Пифагора, получим величину радиус-вектора МТ по модулю:

Закон движения МТ. Траектория x z y траектория r(t) – закон движения материальной точки 0

Тема 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ § 1.3. Вектор перемещения. Путь

x z y 1 2 x1x1 x2x2 y2y2 y1y1 r1r1 r2r2 ΔrΔr траектория вектор перемещения : путь Путь – расстояние, пройденное телом вдоль траектории.

Расстояние между точками траектории – модуль вектора перемещения x z y 1 2 x1x1 x2x2 y2y2 y1y1 0 Вначале рассмотрим случай, когда траектория лежит в плоскости экрана: В трёхмерном случае необходимо учесть изменение координаты и по оси z : Тогда модуль вектора перемещения (расстояние между двумя соответствующими точками траектории) равен:

Тема 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ § 1.4. Скорость МТ. Ускорение

x 0 v ΔrΔr Скорость характеризует быстроту перемещения МТ по траектории, а также направление, в котором она движется в каждый момент времени. При равномерным движении направление скорости и перемещения совпадают и лежат на траектории МТ: В этом случае вектор скорости определяется как перемещение в единицу времени: и вычисляется путём деления пути S на время его преодоления t.

y x 0 r0r0 r v ΔrΔr Однако в общем случае (криволинейное и неравномерное движение) не только величина, но и направление вектора перемещения будет разным в зависимости от выбираемого промежутка времени. Следовательно, записанное выше выражение для скорости будет здесь весьма приближённым: Однако, если время перемещения взять бесконечно малым: то перемещение фактически уляжется на траекторию, а скорость будет касательной к ней. Таким образом, скорость в данной точке (или мгновенная скорость) определяется как предел отношения перемещения ко времени, стремящемуся к нулю, т.е. является производной радиус-вектора по времени: Скорость:

x z y 0 vxvx vyvy v i j k Скорость и её проекции: С другой стороны:, где

У с к о р е н и е Ускорение характеризует скорость изменения скорости и определяется производной скорости по времени: Скорость же определена выше как производная радиус-вектора по времени: Т.е. ускорение может быть определено как вторая производная радиус-вектора по времени: Ускорение:

Ускорение и его проекции: По аналогии с определением проекций скорости, проекции ускорения на оси координат равны производным по времени проекций скорости на соответствующие оси или вторым производным по времени соответствующих координат: x z y 0 axax ayay a i j k Запишем связь в виде векторного уравнения с использованием единичных векторов: Модуль ускорения:

Тема 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ § 1.5. Движение по окружности. Угловая скорость. Угловое ускорение

v r ΔrΔr Δφ 1 2 S Рассмотрим движение материальной точки (МТ) по окружности. Перемещение из точки 1 в точку 2 можно характеризовать как вектором перемещения Δr, так и углом поворота Δφ радиус-вектора МТ. Пройденный при этом путь (длина окружности) определяется произведением радиуса на угол его поворота: При очень малых перемещениях Таким образом:

v r ΔrΔr Δφ dφdφ dr dr = dφ×r 1 2 r S dφdφ направление - по правилу правого винта Таким образом: Углу поворота придают направление в виде вектора, указывающего, в какую сторону поворачивается радиус-вектор: Т.е. вектор малого перемещения МТ по окружности определяется векторным произведением:

r dr dφdφ ω dφdφ r+dr Угловая скорость ω определяется подобно линейной скорости v ( см. §1.4): Аналогично определяется угловое ускорение:

r dr dφdφ ω dφdφ r+dr Угловое ускорение: ε ε Если угловая скорость уменьшается со временем, то угловое ускорение противоположно ей по направлению. Если угловая скорость растёт со временем, то угловое ускорение совпадает с ней по направлению.

Линейная и угловая скорости ω r v В векторном виде с учётом правила правого винта:

Тема 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ § 1.6. Нормальное (центростремительное) ускорение

Скорость и ускорение : направление ускорения в общем случае не совпадает с направлением скорости. g g g v v v Пример – движение тела в поле силы тяжести: a = F / m(!) Направление ускорения совпадает с направлением силы, действующей на тело:

R 0 v1v1 Рассмотрим движение МТ по окружности с постоянной по модулю скоростью: Δφ 1 2 v2v2 v2v2 v1v1 ΔvΔv ΔrΔr Но несмотря на это существует ускорение, поскольку вектор скорости изменяется со временем. Вектор скорости при перемещении МТ поворачивается на тот же угол, что и её радиус-вектор. Тогда из подобия получившихся треугольников можно записать: откуда приращение скорости:

R 0 v1v1 aцaц 1 2 v2v2 v2v2 v1v1 ΔvΔv ΔrΔr Определим модуль ускорения, подставив в его уравнение значение приращения скорости: = v Т.е. в данном случае ускорение равно: При Δt 0 угол Δφ 0, и следовательно, вектор Δv, а значит – и вектор ускорения становятся перпендикулярными вектору скорости. Таким образом, ускорение в данном случае направлено к центру окружности и по этой причине называется центростремительным.

Конец темы