Задача Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или пять камней или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 20 или 45 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда в куче становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получившим кучу, в которой будет 41 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней ; 1 S 40. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Выполните следующие задания. Во всех случаях обоснуйте свой ответ.

Задание 1. а ) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть за один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающие ходы. б ) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

Задание 2. Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причем одновременно выполняются два условия : Петя не может выиграть за один ход ; Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

Задание 3. Укажите значения S, при котором одновременно выполняются два условия : У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети ; У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани ( в виде рисунка или таблицы ). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах – количество камней в позиции.

1. а ) S=14…40 камней. Утроив количество камней, Петя выиграет с первого хода, получив в куче более 41 камня. б ) S=13 камней. После первого хода у Пети будет 14 или 18 или 39 камней. Тогда Ваня своим первым ходом выиграет в любом случае. 1. а ) S=14…40 камней. Утроив количество камней, Петя выиграет с первого хода, получив в куче более 41 камня. б ) S=13 камней. После первого хода у Пети будет 14 или 18 или 39 камней. Тогда Ваня своим первым ходом выиграет в любом случае.

2. Возможные значения : S=8 и S=12. В этих случаях Петя может получить количество камней – 13 и при любом ходе Вани, выиграет со второго хода.

3. 1- й ход Пети - 1- й ход Вани 2- й ход Пети 2 - й ход Вани й ход Пети - 1- й ход Вани 2- й ход Пети 2 - й ход Вани *3

Задача 2. За один ход игрок может добавить в кучу три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 33. В начальный момент в куче было S камней, 1 S При каких S: 1 а ) Петя выигрывает первым ходом ; 1 б ) Ваня выигрывает первым ходом ? 2. Назовите два значения S, при которых Петя может выиграть своим вторым ходом. 3. При каком S Ваня выигрывает своим первым или вторым ходом ?