Системы n линейных уравнений с n неизвестными

Определение: Определение. Система n уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: Определение. Система n уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:, где a ij – коэффициенты, и b i – постоянные. где a ij – коэффициенты, и b i – постоянные.

Решениями системы является упорядоченный набор из n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество. Решениями системы является упорядоченный набор из n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Основные определения Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Основные определения Определение. Для системы линейных уравнений матрица Определение. Для системы линейных уравнений матрица А = называется матрицей системы

Основные определения Матрица Матрица А*= А*= называется расширенной матрицей системы называется расширенной матрицей системы

Тогда систему уравнений можно записать в матричном виде A X = B Пусть дана система уравнений: Пусть дана система уравнений: Составим матрицы: Составим матрицы: A = В = Х =

Основные определения Определение. Если Определение. Если b 1, b 2, …,b n = 0, то система называется однородной. Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение. Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования системы: - перестановка строк (перенумерация уравнений) - перестановка столбцов основной матрицы (перенумерация неизвестных); - удаление нулевой строки (исключение уравнений, тождественно удовлетворяющихся любыми значениями неизвестных); - умножение строки на ненулевое число (нормирование уравнений); - сложение строки с линейной комбинацией остальных строк с записью результата на место исходной строки (замена одного из уравнений системы следствием ее уравнений, получаемым при помощи линейных операций).

Замечание: Решение неоднородной системы уравнений (равно как и ее ранг) не изменится при использовании любой комбинации элементарных операций. Решение неоднородной системы уравнений (равно как и ее ранг) не изменится при использовании любой комбинации элементарных операций.

Теорема Кронекера – Капелли. (условие совместности системы) Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. RgA = RgA*.

Исследование системы При выполнении условий теоремы о совместности системы: Система имеет единственное решение, если RgA=n. Система имеет единственное решение, если RgA=n. Система имеет решений больше одного, если RgA

Пример: Определить совместность системы линейных уравнений: Ответ: Система несовместна Ответ: Система несовместна

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матричный метод решения систем линейных уравнений. Пусть дана система уравнений: Пусть дана система уравнений: Составим матрицы: Составим матрицы: A = В = Х =

Матричный метод решения: Систему уравнений можно записать: Систему уравнений можно записать: A X = B. Решение системы: Х = А -1 В Для применения данного метода необходимо находить обратную, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка. Для применения данного метода необходимо находить обратную, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

Пример: Решить систему: Составим обратную матрицу: Составим обратную матрицу:

Обратная матрица A -1 = A -1 =

Найдем неизвестные: =. = =. = Ответ: 1, 2, 3

Метод Крамера обозначим: = det A = det A i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b i. i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b i.

Исследование системы: 1) Если 0, то система имеет единственное решение. 2) Если =0 и хотя бы один из определителей i не равен 0, то система несовместна. 3) Если = i =0, то система имеет бесконечное множество решений или не имеет решений.

Формулы Крамера для системы из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: x i = i / в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: x i = i /

Пример. Найти решение системы уравнений: Найти решение системы уравнений:

Решение: x1 = 1/ = 1 x2 = 2/ = 2 x3 = 3/ = 3 = -30 = =-30 1 =-30 2 =-60 2 =-60 3 =-90 3 =-90

Метод Гаусса. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований приводят к «трапециидальному» виду. Расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований приводят к «трапециидальному» виду. Провести «обратный ход» метода Гаусса Провести «обратный ход» метода Гаусса

Пример. Решить систему методом Гаусса. Решить систему методом Гаусса.

Решение: Исходная система может быть представлена в виде: Исходная система может быть представлена в виде: откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1. откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.