Системы m линейных уравнений с n неизвестными

Определение: Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:, где a ij – коэффициенты, а b i – постоянные. где a ij – коэффициенты, а b i – постоянные.

Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Основные определения Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Основные определения Определение. Для системы линейных уравнений матрица Определение. Для системы линейных уравнений матрица А = называется матрицей системы

Основные определения Матрица Матрица А= А= называется расширенной матрицей системы называется расширенной матрицей системы

Основные определения Определение. Определение. Если b 1, b 2, …,b m = 0, то система называется однородной. Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение. Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования матриц К элементарным преобразованиям относятся: К элементарным преобразованиям относятся: 1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю. 1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю. 2)Перестановка уравнений местами. 2)Перестановка уравнений местами. 3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х. 3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Элементарные преобразования матрицы: - перестановка строк (перенумерация уравнений) - перестановка столбцов основной матрицы (перенумерация неизвестных); - удаление нулевой строки (исключение уравнений, тождественно удовлетворяющихся любыми значениями неизвестных); - умножение строки на ненулевое число (нормирование уравнений); - сложение строки с линейной комбинацией остальных строк с записью результата на место исходной строки (замена одного из уравнений системы следствием ее уравнений, получаемым при помощи линейных операций).

Замечание: Решение неоднородной системы уравнений (равно как и ее ранг) не изменится также и при использовании любой комбинации элементарных операций. Решение неоднородной системы уравнений (равно как и ее ранг) не изменится также и при использовании любой комбинации элементарных операций.

Теорема Кронекера – Капелли. (условие совместности системы) Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. RgA = RgA*.

Пример: Определить совместность системы линейных уравнений: Ответ: Система несовместна Ответ: Система несовместна

Матричная запись систем линейных уравнений. Пусть дана система уравнений: Пусть дана система уравнений: Составим матрицы: Составим матрицы: A = В = Х =

Систему можно записать в матричном виде: A X = B Определение Определение Упорядоченный набор чисел называется частным решением системы линейных уравнений, если при подстановке этих чисел в систему мы получаем верные равенства.. Совокупность всех частных решений системы линейных уравнений назовем общим решением системы

Фундаментальная система решений Рассмотрим случай, когда система совместна и найдем все ее решения. Рассмотрим случай, когда система совместна и найдем все ее решения.

Вспомогательные утверждения Любая линейная комбинация частных решений однородной системы также является ее частным решением. Любая линейная комбинация частных решений однородной системы также является ее частным решением. Сумма некоторого частного решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы является частным решением неоднородной системы Сумма некоторого частного решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы является частным решением неоднородной системы Разность двух некоторых частных решений неоднородной системы является частным решением однородной системы. Разность двух некоторых частных решений неоднородной системы является частным решением однородной системы.

Из указанных утверждений следует: Общее решение неоднородной системы уравнений есть общее решение однородной плюс некоторое частное решение неоднородной Общее решение неоднородной системы уравнений есть общее решение однородной плюс некоторое частное решение неоднородной

Теорема: Однородная система имеет Однородная система имеет линейно независимых частных решений.

Определение: Фундаментальной системой решений для системы линейных уравнений называется совокупность Фундаментальной системой решений для системы линейных уравнений называется совокупностьлюбых частных, линейно независимых решений соответствующей однородной системы, где - n число неизвестных в системе.), а - ее основная матрица.

Матрица называется фундаментальной.

Теорема: Каждое частное решение однородной системы может быть представлено в виде линейной комбинации частных решений, образующих нормальную фундаментальную систему решений. Каждое частное решение однородной системы может быть представлено в виде линейной комбинации частных решений, образующих нормальную фундаментальную систему решений.

Следствие Общее решение неоднородной системы может быть дано формулой Общее решение неоднородной системы может быть дано формулой

где является некоторым частным решением неоднородной системы, где является некоторым частным решением неоднородной системы, а числа произвольные константы

Следствие Для того чтобы однородная система с имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы удовлетворял условию Для того чтобы однородная система с имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы удовлетворял условию В частном случае, когда основная матрица системы квадратная, условие существования нетривиального решения равносильно равенству В частном случае, когда основная матрица системы квадратная, условие существования нетривиального решения равносильно равенству

Метод Гаусса Суть этого метода заключается в приведении расширенной матрицы системы линейных уравнений к наиболее простому виду последовательностью так называемых элементарных преобразований, каждое из которых не меняет общего решения системы уравнений. Суть этого метода заключается в приведении расширенной матрицы системы линейных уравнений к наиболее простому виду последовательностью так называемых элементарных преобразований, каждое из которых не меняет общего решения системы уравнений.

С помощью элементарных преобразований привести матрицу системы к следующему виду:

Задача: Решить систему уравнений

1. Составляем расширенную матрицу системы

2. Приводим ее к верхнему треугольному виду.

3. Полученная матрица является расширенной матрицей системы линейных уравнений, равносильной исходной системе. Ранг этой матрицы совпадает с рангом исходной. Потому заключаем, что а) система совместна, поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен 2 (по теореме Кронекера-Капелли); б) однородная система уравнений будет иметь линейно независимых решения.

4. Поскольку общее решение неоднородной системы есть общее решение однородной плюс частное решение неоднородной, то нам достаточно найти три любых линейно независимых решения однородной системы и какое-нибудь одно решение неоднородной. Перепишем исходную систему в преобразованном виде, приняв первое и второе неизвестные за основные, а третье, четвертое и пятое - за свободные. Перепишем исходную систему в преобразованном виде, приняв первое и второе неизвестные за основные, а третье, четвертое и пятое - за свободные. Второе уравнение для удобства вычислений умножим на -1, а третье и четвертое уравнения отбросим как удовлетворяющиеся тождественно. Второе уравнение для удобства вычислений умножим на -1, а третье и четвертое уравнения отбросим как удовлетворяющиеся тождественно.

находим частное решение неоднородной системы Значения основных неизвестных определяются системы линейных уравнений

Для однородной системы строим нормальную фундаментальную систему решений строим нормальную фундаментальную систему решений

Первое независимое решение находится из системы

Аналогично получаются второе и третье решения:

Замечание: поскольку существует свобода выбора как частного решения неоднородной системы, так и линейно независимых решений однородной, то общее решение неоднородной системы может быть записано в различных, но, естественно, равносильных формах.