Решение неравенств с одной переменной Алгебра 8 класс Яковлева Любовь Викторовна, МБОУ «Самосдельская СОШ им. Шитова В. А.»

Цели урока: ввести понятия «решение неравенства», «равносильные неравенства»; познакомиться со свойствами равносильности неравенств; рассмотреть решение линейных неравенств вида ах > b, ax < b; научиться решать неравенства с одной переменной, опираясь на свойства равносильности.

Всякий день есть ученик дня вчерашнего. Публий Сир

Устные упражнения З ная, что a < b, поставьте соответствующий знак < или >, чтобы неравенство было верным: 1) -5 а - 5b 2) 5 а 5b 3) a – 4 b – 4 4) b + 3 a +3

Устные упражнения П ринадлежит ли отрезку [- 7; - 4] число: , ,1

Устные упражнения У кажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку: [-1; 4] (- ; 3) (2; + ) 4 2 не существует

Устные упражнения Н айди ошибку! x 7 Ответ: (- ; 7) 7 y < 2,5 Ответ: (- ; 2,5) 2,5

В учении нельзя останавливаться Сюньцзы

Историческая справка Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Например, Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, указал границы числа «пи». Ряд неравенств приводит в своём трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического.

Историческая справка Современные знаки неравенств появились лишь в XVII XVIII вв. В 1631 году английский математик Томас Гарриот ввел для отношений «больше» и «меньше» знаки неравенства < и >, употребляемые и поныне. Символы и были введены в 1734 году французским математиком Пьером Бугером.

Неравенства Скажите мне, какая математика без них? О тайне всех неравенств, вот о чём мой стих. Неравенства такая штука – без правил не решить! Я тайну всех неравенств попробую открыть.

Рассмотрим неравенство 5 х – 11 > 3 п ри х = – 11 > 3; 9 > 3 – верно; п ри х = – 11 > 3, - 1 > 3 – неверно; Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Я вляются ли числа 2; 0,2 решением неравенства: а) 2 х – 1 < 4; б) - 4 х + 5 > 3? Р ешить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Равносильные неравенства Неравенства, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, тоже считают равносильными 2 х – 6 > 0 и равносильны х > 3 х и |х| + 3 < 0 равносильны нет решений 3 х – 6 0 и 2 х > 8 неравносильны х 2 х > 4

При решении неравенств используются следующие свойства: Е сли из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство. Е сли обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство; е сли обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится р авносильное ему неравенство.

На примерах учимся Федр

Пример 1. Решим неравенство 3(2 х – 1) > 2(х + 2) + х + 5. Р аскроем скобки приведём подобные слагаемые: С группируем в левой части слагаемые с переменной, а в правой - без переменной: П риведём подобные слагаемые: Р азделим обе части неравенства на положительное число 3, сохраняя при этом знак неравенства: 6 х – 3 > 2 х х х – 3 > 3 х х – 3 х > х > 12 х > 4 4 х Ответ: (4; + )

Пример 2. Решим неравенство > 2. У множим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т. е. на положительное число 6: П риведём подобные слагаемые: Р азделим обе части на отрицательное число – 1, изменив знак неравенства на противоположный: - > х – 3 х > 12 - х > 12 х < х Ответ:(- ; -12)

5 х 15, 3 х > 12, - х > 12 Р ешения неравенств ах > b или ах < b при а = 0. Пример 1. 0 х < 48 Пример 2. 0 х < - 7 Л инейное неравенство вида 0 х < b или 0 х > b, а значит и соответствующее ему исходное неравенство, либо не имеет решений, либо его решением является любое число. Неравенства вида ах > b или ах < b, где а и b – некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной. Ответ: х – любое число. Ответ: нет решений.

Алгоритм решения неравенств первой степени с одной переменной. Р аскрыть скобки и привести подобные слагаемые. С группировать слагаемые с переменной в левой части неравенства, а без переменной – в правой части, при переносе меняя знаки. П ривести подобные слагаемые. Р азделить обе части неравенства на коэффициент при переменной, если он не равен нулю. И зобразить множество решений неравенства на координатной прямой. З аписать ответ в виде числового промежутка.

Устные упражнения Знак изменится, когда неравенств обе части Делить на с минусом число 1) – 2 х < 4 2) – 2 х > 6 3) – 2 х 6 Решите неравенство: 4) – х < 12 5) – х 0 6) – х 4 х > - 2 х < - 3 х - 3 х > - 12 х 0 х - 4

Устные упражнения Н айдите решение неравенств: 1 ) 0 х < 7 2) 0 x < -7 не имеет решений 3) 0 х 6 4) 0 х > - 5 5) 0 х 0 х - любое число 6) 0 x > 0

Письменные упражнения Выполните: 836(а, б, в) 840(д, е, ж, з) 844(а, д)

Как приятно, что ты что – то узнал. Мольер

Домашнее задание И зучить п.34(выучить определения, свойства и алгоритм решения). В ыполнить 835; 836(д – м); 841.