«Г ЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ГИА И ЕГЭ 2012 ГОДА » Бисярина Н. В., учитель математики

Г ОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ПРОДОЛЖАЕТ СОВЕРШЕНСТВОВАТЬСЯ : 1. В КОНТРОЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ГИА ВКЛЮЧАЮТСЯ ЗАДАНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ. 2. В ЗАДАНИЯХ ГИА СТАНЕТ БОЛЬШЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ, В КОТОРЫХ ПРОВЕРЯЕТСЯ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКАЯ КОМПЕТЕНТНОСТЬ ВЫПУСКНИКА.

К ОЛИЧЕСТВО ЗАДАНИЙ : 1 часть – 18 заданий, из них 4 – по геометрии; 2 часть – 5 заданий, из них 2 - по геометрии.

Д ЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ В 2012 ГОДУ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ( ИТОГОВОЙ ) АТТЕСТАЦИИ ( В НОВОЙ ФОРМЕ ) ПО МАТЕМАТИКЕ. Пример 1. Укажите номера верных утверждений: 1) Диагонали параллелограмма равны. 2) Два различных диаметра окружности пересекаются в точке, являющейся центром этой окружности. 3) Сумма углов трапеции равна 360°. 4) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов. 5) Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Ответ: 235

О СОБЕННОСТИ ЗАДАНИЯ : 1. Для выполнения этого задания необходимо знать: Свойства параллелограмма. Свойства окружности. Свойства трапеции. Формулу площади прямоугольного треугольника. Формулу нахождения sin острого угла. 2. Возможность выбора нескольких вариантов. 3. Специфика задания: «Укажите номера верных (или НЕ верных) утверждений»

П РИМЕР 2. Площадь треугольника АВС равна 40. Биссектриса AD пересекает медиану ВК в точке Е, при этом BD:CD = 3:2. Найдите площадь четырехугольника EDCK.

Д АНО : S = 40. BD : CD = 3:2 Н АЙТИ : SEDCK Р ЕШЕНИЕ : 1. По св. медианы АК = КС = х 2. По св. биссектрисы 3. Рассмотрим ABK 4. Пусть S – площадь АВС, тогда и Тогда 5. Т.о. Ответ: 11 A C B D K E =>=> =>=> =>=> =>=>

К РИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ Критерии оценивания выполнения задания Баллы Решение задачи верное, все его шаги обоснованы, получен верный ответ 4 Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но решение обосновано недостаточно; или: решение задачи в целом верное, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ 3 Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 0 Максимальный балл 4

О ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ В ЕГЭ. И З 6 ЗАДАЧ РАЗДЕЛА С ЭКЗАМЕНА ЕГЭ 2011 ГОДА ЗАДАЧИ С2 И С4 - ПО ГЕОМЕТРИИ : - С2 - ЗАДАЧА ПО СТЕРЕОМЕТРИИ, - С4 - ПО ПЛАНИМЕТРИИ.

С5: Н АЙДИТЕ ВСЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ А, ПРИ КАЖДОМ ИЗ КОТОРЫХ СИСТЕМА ИМЕЕТ ЕДИНСТВЕННОЕ РЕШЕНИЕ ). Задача является также геометрической, соответствуя таким разделам планиметрии как «Окружность» и «Координатный метод».

Р АССМОТРИМ ЗАДАЧУ ПО ГЕОМЕТРИИ ОДНОГО ИЗ ВАРИАНТОВ ЕГЭ 2011 ГОДА. Задача С4 (планиметрическая, максимальный балл 3). Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключенный внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 5/6.

Д ВА РЕШЕНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЧЕРТЕЖА.

З АДАЧУ МОЖНО РЕШИТЬ ЕЩЕ И БЕЗ ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛ ТРИГОНОМЕТРИИ. Е СЛИ УЧАЩИЙСЯ ЗАМЕТИЛ, ЧТО ОКРУЖНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ ВНЕВПИСАННОЙ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ANM, ТО ОН МОЖЕТ НАЙТИ ЕЕ РАДИУС, ИСПОЛЬЗУЯ ФОРМУЛУ ДЛЯ РАДИУСА ВНЕВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ :

Т АБЛИЦА КРИТЕРИЕВ : 3 БАЛЛА - ЗА ВЕРНЫЙ ОТВЕТ ; 2 БАЛЛА - ЗА ВЕРНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ОДНОГО ИЗ ДВУХ СЛУЧАЕВ ; 1 БАЛЛ - ЗА РАССМОТРЕНИЕ ХОТЯ БЫ ОДНОГО ИЗ ВОЗМОЖНЫХ СЛУЧАЕВ, СОДЕРЖАЩЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКУЮ ОШИБКУ, ПРИВЕДШУЮ К НЕВЕРНОМУ ОТВЕТУ.

Д ЛЯ РАЗВИТИЯ НАВЫКОВ РЕШЕНИЯ ПОДОБНЫХ ЗАДАЧ НЕОБХОДИМО : 1. На уроках геометрии, разобрать не простую задачу, для которой легко создать подобную, после чего предложить учащимся в качестве домашнего задания самостоятельно придумать несколько подобных задач и решить их. На следующем уроке необходимо уделить внимание разбору домашней работы и авторов лучших задач поощрить положительной отметкой. 2. Решить на уроке (или задать на дом) несколько весьма простых задач, в которых требуется рассмотреть два или более вариантов решения.

Р ЕЗУЛЬТАТ РАБОТЫ : 1. Отработка навыков применения знаний, полученных на уроках. 2. Развитие творческой активности учащихся. 3. Выработка умений и навыков быстрого нахождения связей между уже решенными и новыми, более трудными, задачами.

П РИМЕРЫ ЗАДАЧ : Задача 1. Точки А, В и С лежат на одной прямой, причем Найдите АВ, если АС =15. (Два варианта.) Задача 2. Точки А, В и С лежат на одной прямой, причем точка С располо­жена вдвое дальше от одной из точек А и В, чем от другой. Найдите АВ, если АС = 18. (Четыре варианта.) Задача 3. Катет прямоугольного треугольника равен 5, а один из углов в два раза больше другого. Найдите периметр треугольника. (Три варианта.) Задача 4. Даны два подобных треугольника. Стороны первого равны 8; 10 и 16. Одна из сторон второго равна 2. Найдите периметр второго треугольника. (Три варианта.)

Найти длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34. С4 О О1О1 О О1О1 В А А В Решение. Возможны два случая: Н Н ОАВО 1 – прямая трапеция, ОН=АВ - высота ОНО 1 – прямоугольный, ОН=АВ - высота Ответ: 30 или 16

В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. А В С Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. 3 ч D 8 ч А ВС D F E 3 ч 8 ч Рассмотрим 1 случай. 2 E F

В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. А В С Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. 3 ч D 8 ч Рассмотрим 1 случай. Найдем: Значит, Из ADC, Из ADВ, 3 E F

В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение.Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. Значит, Из ADC, Из ADВ, А ВС D F E 3 ч 8 ч Ответ: 9 или Рассмотрим 2 случай.

Пусть окружность вписана в треугольник ABC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно А В С О x xy y z z Доказательство. М N К Мы знаем, что центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника, значит AM=AK= x, BM=BN= y, CK=CN= z. Тогда, периметр АВС равен:, откуда или Вспомогательная задача.

Точка H – основание высоты треугольника со сторонами 10, 12, 14, опущенной на сторону, равную 12. Через точку H проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке M. Найдите HM. Решение. Пусть АВ = 10, ВС = 12, АС = 14. По условию АВС НВМ, и имеют общий угол В, значит возможны два случая. 1 случай. ВМН = ВАС; А ВС Н М 2 случай. ВМН = АСВ; АВН – прямоугольный, BН = АВ·cosB = 2. значит,, значит, Ответ: 2

1)нижнее основание вдвое больше верхнего, BC = a, АD = 2a, 2)верхнее основание вдвое больше нижнего, AD = a, BC = 2a. Площадь трапеции ABCD равна 240. Диагонали пересекаются в точке O, отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь четырехугольника OMPN, если одно из оснований трапеции втрое больше другого. А PD M N O ВС Решение. Возможно два вида трапеции. Найдем площадь ОMPN: В обоих случаях: Рассмотрим первый случай. 3 S MONP =S AOD – S AMP – S PND.

По условию BC = a, АD = 3a, аh = ) BOC AOD, по трем углам h Значит высота AOD равна, тогда: 2) BMC AMP, по трем углам, Тогда высота треугольника АМР равна 3/5 высоты трапеции. 3) Находим искомую площадь: а 3 а S MONP =S AOD – S AMP – S PND. S MONP =S AOD – 2S AMP = ·54 = 27.

По условию BC = 3a, АD = a, аh = ) BOC AOD, по трем углам h Значит высота AOD равна, тогда: 2) BMC AMP, по трем углам, Тогда высота треугольника АМР равна 1/7 высоты трапеции. 3) Находим искомую площадь: А PD M N O ВС Ответ: 27 или 5. 3 а а S MONP =S AOD – S AMP – S PND.

D A B C D A B C 4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. Решение. O МN М N O Пусть О – точка пересечения биссектрис. По условию значит М лежит между точками В и N. Возможны два случая. 1) точка О – лежит внутри параллелограмма; Рассмотрим первый случай. 2) точка О – лежит вне параллелограмма. 12

D A B C 4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. Решение. O МN Пусть О – точка пересечения биссектрис. По условию значит М лежит между точками В и N. Рассмотрим первый случай. 12 1) ABN – равнобедренный, т.к. ВNА= NAD- накрест лежащие; значит ВNА= ВAN и AB=BN=12, АN – биссектриса А, тогда Найдем MN=BN-BM=12-1,5=10,5. 2) Аналогично, DMC – равнобедренный, MC=DC=12. Тогда NC= MC-MN=12-10,5=1,5. 3) Значит, ВС=ВМ+MN+NC=13,5. 1,5 10,51,5

4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. Решение. Рассмотрим второй случай: точка О – лежит вне параллелограмма. 1) ABМ– равнобедренный, т.к. Тогда АВ=ВМ=12. 2) Аналогично DNC– равнобедренный, 3) Значит, ВС=ВN+NC=96+12=108. D A B C М N O 12 ВMА= MAD- накрест лежащие; значит ВMА= ВAM. АМ – биссектриса А, По условию значит Ответ: 13,5 или 108. тогда NC=DC=12.

Презентация к урокам по геометрии по теме «ПАРАЛЛЕЛОГРАММ»

Параллелограмм А ВС D ABCD – четырех- угольник AB CD BC AD определение Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны называется параллелограммом => ABCD -параллелограмм

А В С D O 3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам AO=OC BO=OD Свойства параллелограмма 1. Противоположные стороны попарно равны AD=BC AB=CD 2. Противоположные углы попарно равны А = С В = D

Свойства параллелограмма 4. Сумма смежных углов равна А + В = А В С D 5. Биссектриса угла отсекает от него равнобедренный треугольник. BF – биссектриса, ABF –равнобедренный, AB=BF F 6. Биссектрисы соседних углов перпендикулярны. AF, BK – биссектрисы, AF BK К 7. Биссектрисы противоположных углов параллельны или совпадают. AF, CN – биссектрисы, AF|| CN N

Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник параллелограмм. D А В С ABCD – четырех- угольник AB || CD AB = CD => ABCD- параллелограмм

Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм D А В С ABCD – четырехугольник ВС = АD AB = CD => ABCD- параллелограмм

Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм DА В С ABCD – четырехугольник AО = CО ВО = ОD О => ABCD- параллелограмм

П РИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА С УММА СОСЕДНИХ УГЛОВ РАВНА 180 ГРАДУСОВ : Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру. Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон параллелограмма:

Задачи на готовых чертежах В С F D А ABCD – параллелограмм Найти C, D А ВС D E 10 см 2 см ABCD – параллелограмм Найти AD, CD 1) 2) Ответ:AD=4 cм, CD=10 см

F С M N NMCF – параллелограмм Найти все углы NMCF А В С D E 3 см 2 см ABCD – параллелограмм Найти Задачи на готовых чертежах

В С M N NBCM – параллелограмм Найти BF, FM А В С D E 4 см 5 см ABCD – параллелограмм = 20 cм Найти ME, MK А F M F K Задачи на готовых чертежах Ответ: BF=4 см, FM=5cм Ответ: ME=3 см, MK=7 см

кроссворд 1.Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны 2. Единица измерения угла 3.Отрезок, соединяющий две несмежные вершины 4.Луч, делящий угол пополам 5. Множество точек прямой, заключенных между двумя точками. 6.Фигура,состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки. 7. Сколько сантиметров в метре? 8.(горизонталь) Отрезок, перпендикулярный к стороне. 8.(вертикаль) Точка из которой исходят стороны многоугольника 9. «+», - это … 10. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол. 11Отрезок исходящий из вершины треугольника к середине противоположной стороны (множественное число) Посмотреть ответ

2 кроссворд 1.Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны 2. Единица измерения угла 3.Отрезок, соединяющий две несмежные вершины 4.Луч, делящий угол пополам 5. Множество точек прямой, заключенных между двумя точками. 6.Фигура,состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки. 7. Сколько сантиметров в метре? 8.(горизонталь) Отрезок, перпендикулярный к стороне. 8.(вертикаль) Точка из которой исходят стороны многоугольника 9. «+», - это … 10. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол. 11Отрезок исходящий из вершины треугольника к середине противоположной стороны (множественное число). рлламлгп а 3 а 5 е 4 о 7 8 р 910 м г р а д у с а л ь г о н д и а е к т р б и с с и с а о т р е з о к уголстовысота в е р ш и н а знакетыкат м е д и а н ы назад

И ЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 7 – 9 КЛАССЕ ВЛЕЧЕТ ЗА СОБОЙ РАЗВИТИЕ ОБРАЗНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ, ЧТО ЯВЛЯЕТСЯ ОДНИМ ИЗ ВАЖНЕЙШИХ ФАКТОРОВ В ДОСТИЖЕНИИ УСПЕХА В ДАЛЬНЕЙШЕМ ОБУЧЕНИИ.

С ПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, НЕОБХОДИМОЙ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ГИА О БЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. 2. Ф ЕДЕРАЛЬНЫЙ КОМПОНЕНТ ГОСУДАРСТВЕННОГО СТАНДАРТА ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ. М АТЕМАТИКА. О СНОВНОЕ ОБЩЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ. 3. М АТЕМАТИКА 9 КЛАСС. П ОДГОТОВКА К ГИА П ОД РЕД. Ф. Ф. Л ЫСЕНКО, Ф. Ю. К АЛАБУХОВА. 4. Г ЕОМЕТРИЯ. С БОРНИК ЗАДАНИЙ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКЗАМЕНА В 9 КЛАССЕ. А. Д. Б ЛИНКОВ, Т. М. М ИЩЕНКО. 5. ЕГЭ М АТЕМАТИКА : ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ / И.Р. В ЫСОЦКИЙ [ И ДР.]; ПОД РЕД. А.Л. С ЕМЕНОВА И И.В. Я ЩЕНКО. М.: 1 Н АЦИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ, Г ОРДИН Р.К. ЕГЭ М АТЕМАТИКА. З АДАЧА С4. Г ЕОМЕТРИЯ. П ЛАНИМЕТРИЯ / ПОД РЕД. А.Л. С ЕМЕНОВА И И.В. Я ЩЕНКО. - М.: МЦНМО, П ОТОСКУЕВ Е.В, З ВАВИЧ Л.И. Г ЕОМЕТРИЯ, 10 КЛАСС : ЗАДАЧНИК ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ С УГЛУБЛЕННЫМ И ПРОФИЛЬНЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ / ПОД НАУЧ. РЕД. А.Р. Р ЯЗАНОВСКОГО. - М.: Д РОФА, П ОТОСКУЕВ Е.В, З ВАВИЧ Л.И. Г ЕОМЕТРИЯ : КОНТРОЛЬНЫЕ И ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ КЛАССЫ. - М.: Д РОФА, З ВАВИЧ Л.И., Р ЯЗАНОВСКИЙ А.Р. Г ЕОМЕТРИЯ В ТАБЛИЦАХ КЛ.: СПРАВ, ПОСОБИЕ. М.: Д РОФА, П ОТОСКУЕВ Е.В, З ВАВИЧ Л.И. Г ЕОМЕТРИЯ. 10 КЛАСС : УЧЕБ. ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ С УГЛУБЛЕННЫМ И ПРОФИЛЬНЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ / ПОД НАУЧ. РЕД. А.Р. Р ЯЗАНОВСКОГО. - М.: Д РОФА, С МИРНОВ В.А. ЕГЭ М АТЕМАТИКА. З АДАЧА С2. Г ЕОМЕТРИЯ. С ТЕРЕОМЕТРИЯ / ПОД РЕД. А.Л. С ЕМЕНОВА И И.В. Я ЩЕНКО. - М.: МЦНМО, Ц ИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ.

С ПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ ! Спасибо за внимание!