Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Основы логики. Алгебра высказываний.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Логика Слово логика означает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления. Сам термин "логика" происходит от древнегреческого logos, означающего "слово, мысль, понятие, рассуждение, закон".

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Формальная логика - наука о формах и законах мышления. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Основными формами мышления являются понятия, суждения и умозаключения.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Основоположником логики как науки является древнегреческий философ и ученый Аристотель ( гг. до н. э.). Основоположник логики

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Понятие - это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, отличающие его от других. Например, компьютер, человек, ученики.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Понятия Существенные - это необходимые признаки, без которых предмет не может существовать в своей качественной определенности. Например, одним из существенных признаков понятия "человек" является наличие сознания. Несущественные - это преходящие, второстепенные признаки, приобретая или теряя которые, предмет остается самим собой. Например, несущественным признаком понятия "человек" является цвет его волос, вес, рост и др.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Структура понятия Содержание понятия – это совокупность существенных признаков предметов, обозначаемых данным понятием. Объём понятия – совокупность предметов, на которые распространяется данное понятие. Пример. "Квадрат". Содержание этого понятия – правильный четырёхугольник. Объём – все квадраты, независимо от величины сторон. Объём и содержание понятия связаны законом обратного отношения: чем шире объём понятия, тем уже, беднее его содержание, и наоборот.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Примеры: "конфеты" – "шоколадные конфеты" – ''шоколадные конфеты с фруктовой начинкой"; "город" – "старый город" – "большой старый город" – "большой старый русский город".

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Отношения между понятиями Отношения между понятиями принято иллюстрировать с помощью круговых схем (кругов Эйлера), где каждый круг обозначает объем понятия, а каждая точка - предмет, входящий в его объем.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Тождество Равнозначные (тождественные) понятия – их объем состоит из одних и тех же элементов. Примеры: Столица России (А) и город Москва (В); Луна (А) и естественный спутник Земли (В).

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Пересечение Перекрещивающиеся (пересекающиеся) понятия имеют как общие, так и различные элементы объёма, т. е. находятся в отношении частичного совпадения. Примеры: дети (А) и горожане (В); студенты (А) и баскетболисты (В).

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Подчинение Подчинённые понятия (отношение рода и вида) – объём одного понятия полностью входит в объем другого, не исчерпывая его. Примеры: учёные (А) и физики (В); насекомые (А) и бабочки (В).

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Соподчинение Соподчинённые понятия – не имеют общих элементов объема, но являются видовыми по отношению к общему родовому понятию. Примеры: Столярные инструменты (А), молоток (В), пила (С), стамеска (D). Типы темперамента (А), холерик (В), сангвиник (С), флегматик (D).

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Противоположность Противоположные понятия – выражающие крайние виды общего родового понятия, не исчерпывая его. Примеры: ребёнок (А) и старик (В); жарко (А) и холодно (В).

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Противоречие Противоречащие понятия – взаимоисключающие, исчерпывающие виды одного рода. Примеры: свежий (А) и несвежий (В); монархия (А) и республика (В).

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Задание Изобразите кругами Эйлера отношения между следующими понятиями: Человек, спортсмен, боксер, футболист, школьник

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Суждение Суждения - это форма мышления, в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его признаком, отношения между предметами или факт существования предмета и которая может быть либо истинной, либо ложной. Языковой формой выражения суждения является повествовательное предложение. Вопросительные и побудительные предложения суждениями не являются.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино "Дважды два равно четырем" - истинное суждение, а вот "Процессор предназначен для печати" - ложное. Суждения могут быть простыми и сложными. "Весна наступила, и грачи прилетели" - сложное суждение, состоящее из двух простых. Простые суждения (высказывания) выражают связь двух понятий. Сложные - состоят из нескольких простых суждений.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Умозаключение Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний (посылок) может быть получено новое высказывание (вывод). Умозаключения бывают дедуктивные, индуктивные и по аналогии.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино В умозаключениях по аналогии движение мысли от общности одних свойств и отношений у сравниваемых предметов или процессов к общности других свойств и отношений В индуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от частного к общему «Металлы железо и цинк электропроводны» Вывод: «Все металлы электропроводны» «Химический состав Солнца и Земли сходен» «На Солнце есть химический элемент гелий» Вывод: «На Земле тоже должен быть химический элемент гелий» В дедуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от общего к частному «Все металлы электропроводны» «Ртуть является металлом» Вывод: «Ртуть электропроводна»

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Доказательство Доказательство - это выведение одного знания из другого, истинность которого ранее установлена и проверена человеческой практикой. Доказательство по своей логической форме не отличается от умозаключения. Однако, в умозаключении заранее исходят из истинности посылок, а в доказательстве подвергается логической проверке истинность самих посылок.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Алгебра логики Подобно тому, как для описания действий над переменными был разработан раздел математики алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт – истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными буквами А = {Окунь-это рыба} В = {На яблонях растут бананы} Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному – 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции. Логические операции задаются таблицами истинности.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение) В естественном языке соответствует союзу и В алгебре высказываний обозначается & В языках программирования обозначается and Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Пример. Даны высказывания. Определите истинность каждого из них. 1){10 делится на 2 и 5 не больше трех} 2){10 не делится на 2 и 5 больше трех} 3){10 делится на 2 и 5 больше трех} 4){10 не делится на 2 и 5 не больше трех} 1) 1 & 0 = 0 2) 0 & 1 = 0 3) 1 & 1 = 1 4) 0 & 0 = 0 АBA&B

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение) В естественном языке соответствует союзу или. В алгебре высказываний обозначается В языках программирования обозначается or. Дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда хотя бы одно из исходных высказываний истинно.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Пример. Даны высказывания. Определите истинность каждого из них. 1){10 делится на 2 или 5 не больше трех} 2){10 не делится на 2 или 5 больше трех} 3){10 делится на 2 или 5 больше трех} 4){10 не делится на 2 или 5 не больше трех} 1) 1 0 = 1 2) 0 1 = 1 3) 1 1 = 1 4) 0 0 = 0 АB A B

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Логическая операция ОТРИЦАНИЕ (инверсия) В естественном языке соответствует частице не. В алгебре высказываний обозначается А, А В языках программирования обозначается not Инверсия истинна тогда и только тогда, когда само высказывание ложно, и наоборот.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Пример А = {Луна – спутник Земли} А = {Луна – не спутник Земли} АА 10 01

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование) В естественном языке соответствует обороту если …, то …. В алгебре высказываний обозначается В языках программирования не используется Импликация ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе высказывание ложно. 1 0 = 0

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Пример. Даны высказывания. А = {Данный четырехугольник - квадрат} В = {Около данного четырехугольника можно описать окружность} Рассмотрим составное высказывание А В, понимаемое как «если данный четырехугольник – квадрат, то около него можно описать окружность». Есть три варианта, когда высказывание А В истинно

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино 1. А истинно и В истинно, т. е. если данный четырехугольник – квадрат, то около него можно описать окружность; 2. А ложно и В истинно, т. е. если данный четырехугольник не является квадратом, то около него можно описать окружность; 3. А ложно и В ложно, т. е. если данный четырехугольник не является квадратом, то около него нельзя описать окружность; Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, т. е. если данный четырехугольник – квадрат, то около него нельзя описать окружность.

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино АBA B

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность) В естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда; в том и только в том случае В алгебре высказываний обозначается В языках программирования не используется Эквиваленция истинна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или ложны

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино Пример. Определить истинность высказываний. А = {24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3} А = 1 1 = 1 В = {23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3} В = 0 0 = 1 С = {24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5} С = 1 0 = 0 D = {21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3} D = 0 1 = 0

Автор: Доронина Екатерина Валерьевна, МКОУ СОШ 1, Г. Коркино АВ А В