Лекция 5 Работа и энергия 06/03/2012 Алексей Викторович Гуденко

План лекции Работа силы. Мощность. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии. Теорема Кёнига. Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии.

Демонстрации Воздушная дорога. Упругие и неупругие столкновения тележек Упругие столкновения биллиардных шаров. Потенциальная яма. Мёртвая петля. Превращения энергии при падении тела.

Механическая работа и мощность Механическая работа – пространственная характеристика действия силы. Работа силы над телом равна скалярному произведению силы F на перемещение тела dr: dA = Fdr = Fdr cosθ Мощность – работа силы в единицу времени: N = dA/dt = Fv = Fv cosθ Единицы работы и мощности : СИ: [A] =1Н. 1 м = 1 Дж (Джоуль) [N] = Дж/c = 1 Вт (Ватт) СГС: [A] = 1дин. 1см = 1 эрг = Джоуль [N] = эрг/c лошадиная сила = 1 л.с. = 736 Вт

Что такое 1 эрг и может ли человек развить мощность в 1 л.с.? 1 эрг = 1 дин см – такую работу совершает комар против силы тяжести, чтобы перелететь с большого пальца руки на указательный (h ~ 1 см) Мощность в ~ 1 л.с. человек развивает, поднимаясь по эскалатору метро со скоростью ~ 2 м/с

Кинетическая энергия K = ½ mv 2. Работа и кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии. Работа всех сил, действующих на частицу, равна изменению её кинетической энергии K = mv 2 /2: dA = Fdr = madr = mavdt = mvdv = d(mv 2 /2) = dK A = K 2 – K 1

Теорема Кёнига Кинетическая энергия системы частиц: K = Σm i v i 2 /2 = Σm i (v i ' + V C ) 2 /2 = Σm i v' i 2 /2 + V C Σ m i v i ' + MV C 2 /2 = Σm i v' i 2 /2 + MV C 2 /2 = К' + MV C 2 /2 (M = Σm i ) Кинетическая энергия системы частиц складывается из кинетической энергии движения как целого со скоростью центра масс MV C 2 /2 и кинетической энергии частиц в системе центра масс К' (С- системе)

Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия. Если на частицу в каждой точке пространства действует определённая сила, то всю совокупность сил называют силовым полем F = F(x,y,z) Поле тяжести Земли - однородное стационарном поле: F = mg; g = g(0,0,-g) Работа силы тяжести: A = mgdr = - mgdz = mg(z 1 – z 2 ) = mg(h 1 – h 2 ) – работа не зависит от траектории! Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела, называются консервативными, а соответствующие силовые поля – потенциальными. Поле тяжести Земли – потенциальное поле.

Другое определение консервативных сил Работа консервативных сил при перемещении тела по замкнутой траектории равна нулю

Потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли. Потенциальная энергия – это способность тела или системы тел совершать работу. Количественно потенциальная энергия в точке P равна величине работы поля по перемещению тела из т. P в некоторую точку, принимаемую за начало отсчёта. Потенциальная энергия в поле тяжести Земли U(x,y,z) = mgz (z – вертикальная координата) Величина работы поля над телом равна убыли потенциальной энергии dA = -dU F = (-U/x;-Uy;-U/z) = - gradU Сила всегда направлена против градиента потенциальной энергии.

Поле центральных сил Сила называется центральной, если она направлена к одной и той же точке и зависит только от расстояния до этой точки (силовой центр) : F = F(r)r/r Любое поле центральных сил потенциально: A = F(r)rdr/r = F(r)dr – не зависит от пути.

Потенциальная энергия в поле тяготения U(r) = - GMm/r F = -GMmr/r 3 Потенциальная энергия (U() = 0): U(r) = - r GMmrdr/r 3 = - r GMmdr/r 2 = - GMm/r Если h

Потенциальная энергия упругой деформации пружины. U = ½ kx 2 – работа по деформации. Потенциальная энергия деформированного тела равна работе, которую совершает сила упругости при переходе из данного состояния в недеформированное: U = ½ kx 2

Сила трения – неконсервативная, диссипативная сила F = - Fv/v зависит от относительных скоростей A = -Fv/v dr = - Fvdt = - Fvdt = - Fs отн 1. полная работа силы трения скольжения всегда отрицательна – это диссипативная сила 2. работа по замкнутому пути не равна нулю – это неконсервативная сила

Закон сохранения механической энергии Сумма кинетической и потенциальной энергии системы называется механической энергией: E = K + U В системе с одними только консервативными силами полная энергия остаётся неизменной. Могут происходить только превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно: E = K + U = const Изменение механической энергии равно работе всех неконсервативных сил ΔE = A неконс (ΔK = A пот + A непот = U 1 – U 2 + A неконс ΔK + ΔU = ΔE = A неконс )

Границы движения E = K + U U потенциальная энергия не может превышать полную частица не может находиться в областях I и III II – область финитного движения, частица заперта в «потенциальной яме» IV – область инфинитного движения Из области II в область III мешает попасть «потенциальный барьер»

Закон сохранения полной энергии и перпетуум мобиле (вечный двигатель) Энергия никогда не создаётся и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую или обмениваться между частями системы.

Проекты вечных двигателей

Столкновение тел. Абсолютно упругий неупругий удар. Упругое столкновение двух шаров – Лобовое столкновение – Нецентральный удар Неупругий удар

Абсолютно упругий удар. Замедление нейтронов 1. mv + Mu = mv 0 2. ½ mv 2 + ½ Mu 2 = ½ mv 0 2 v = (m – M)v 0 /(m + M) u = 2mv 0 /(m + M) Решение в С-системе: V c = mv 0 /(m + M) 1. mv c + Mu c = mv 0c + Mu 0c = 0 2. ½ mv c 2 + ½ Mu c 2 = ½ mv 0c 2 + ½ Mu 0c 2 v c = -v 0c v = - v 0 + 2V c = (m – M)v 0 /(m + M) u c = -u 0c u = - u 0 + 2V c = 2mv 0 /(m + M) Доля потерянной энергии: ΔK/K = 4mM/(m + M) 2 максимальна при m = M (замедление нейтронов) Нецентральный упругий удар по покоящемуся биллиардному шару: шары разлетаются под прямым углом!

Абсолютно неупругий удар – тела движутся как единое целое mv 0 = (m + M)u Сколько энергии «исчезает»: Q = ½ mv 0 2 – ½ (m + M)u 2 = mMv 0 2 /2(m + M) Доля «исчезнувшей» энергии: Q/K 0 = M/(m + M) Пуля и маятник: m = 0,5 г; M = 1 кг Q/K 0 = M/(m + M) 1 – m/M = 99,95% - в тепло переходит почти вся энергия пули!

Вторая космическая скорость Скорость, необходимая для преодоления земного тяготения: K + U = U() = 0 Mv II 2 /2 + (-GmM/R) = 0 v II = (2GM/R) 1/2 = (2gR) 1/2 = 11.2 км/с