Динамика движения твердого тела, имеющего неподвижную точку

2 Актуальность Движение любого объекта раскладывается на поступательное и сферическое

3 Актуальность Движение любого объекта раскладывается на поступательное и сферическое

4 Актуальность Движение любого объекта раскладывается на поступательное и сферическое

5 Актуальность Движение любого объекта раскладывается на поступательное и сферическое

6 Дифференциальные уравнения движения твердого тела округ неподвижной точки Теорема об изменении кинетического момента Компоненты вектора кинетического момента в связанной системе координат (1) Теорема об изменении кинетического момента в подвижной системе координат (2) Скалярный вид уравнения (2). Уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки (3)

7 Уравнения Эйлера Динамические уравнения Эйлера (4) p, q, r – проекции вектора угловой скорости ω на оси связанной системы координат A, B, C – главные моменты инерции твёрдого тела Кинематические уравнения Эйлера (5) Ox 1 y 1 z 1 – неподвижная система координат Oxyz – связанная система координат К – линия узлов Углы Эйлера ψ – угол прецессии θ – угол нутации φ – угол собственного вращения

8 Динамические уравнения в случае Эйлера (5) Случай Эйлера В случае Эйлера центр масс твёрдого тела совпадает с неподвижной точкой. Следовательно, момент внешних сил относительно неподвижного центра будет нулевым Первые интегралы (8) (7) (9) Постоянство кинетического момента Постоянство кинетической энергии Стационарные вращения твёрдого тела - это движение при котором угловое ускорение равно нулю,, (10)

9 Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. Регулярная прецессия Проекции кинетического момента (11) Аналитическое решение дифференциальных уравнений движения (12) (13) (14) (15) (16) Кинематические уравнения Эйлера для данного случая Угловая скорость прецессии Угловая скорость собственного вращения Абсолютная и связанная системы координат. Углы Эйлера

10 Уравнения движения тяжёлого твёрдого тела вокруг неподвижной точки и их первые интегралы n (γ 1, γ 2, γ 3 ) – единичный вектор вертикали OXYZ – неподвижная система координат Oxyz – связанная система координат Твердое тело с неподвижной точкой. Системы координат (17) Компоненты единичного вектора, выраженные через углы Эйлера (18) Уравнение Пуассона в векторном виде (19) Уравнение Пуассона в скалярном виде (20) Момент силы тяжести в векторном виде (21) Момент силы тяжести в скалярном виде a, b, c – координаты центра масс в связанной системе координат

11 Уравнения движения тяжёлого твёрдого тела вокруг неподвижной точки и их первые интегралы (22) Уравнения движения тяжёлого твёрдого тела вокруг неподвижной точки Первые интегралы (23) Длина единичного вектора (24) Проекция кинетического момента на вертикальную ось (25) Закон сохранения полной механической энергии

12 Интегрируемые случаи движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки Случай Эйлера Случай Лагранжа a=b=c=0 – центр масс твёрдого тела находится в неподвижной точке O Жозеф Луи Лагранж Леонард Эйлер A=B – тело является динамически симметричным a=b=0 – центр масс твёрдого тела находится на оси симметрии r=const – проекция угловой скорости на продольную ось остаётся постоянной

13 Случай Ковалевской Ковалевская Софья Васильевна A=B = 2C – тело является динамически симметричным, моменты инерции поддаются конкретному соотношению c=0 – центр масс твёрдого тела находится в экваториальной плоскости (26) Динамические уравнения Эйлера в случае Ковалевской (27) Первый интеграл движения, получаемый из уравнений (19) и (26)

Список рекомендованной литературы по теме «Динамика движения твердого тела, имеющего неподвижную точку» 1. Маркеев А. П. Теоретическая механика: Учеб. пособие для университетов. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., – 416 с. 2. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики в 2 частях. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., Бутенин Н. В., Лунц Я. Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. В двух томах. – СПб.: Издательство «Лань», – 736 с. 4.mechmath.ipmnet.ru/mech/links/ - электронная библиотека Института проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН. 5. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс. М.: Наука, 1965 – 416 с. 6. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. – М.: Наука, – 300 с. 7. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», – 384 стр. 14