Урок геометрии в 10 классе Учитель математики Циперман Владимир Евсеевич Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением иностранного языка при Посольстве России в Финляндии

Чешский писатель Карел Чапек, восхищаясь формами кристаллов в коллекциях Британского музея, в своих «Записках из Англии» писал: « Я должен еще сказать о кристаллах, формах, красках. Есть кристаллы огромные, как колоннада храма; нежные, как плесень; острые, как шипы; чистые, лазурные, зеленые; как ничто другое в мире, огненные, черные; математически точные, совершенные; похожие на конструкции сумасбродных ученых… И в человеке таится сила кристаллизации. Чтобы быть равным природе, надо быть точным математически и геометрически».

Кристаллами восхищаются поэты, художники, свойства кристаллов изучают различные науки, например, химия, физика, кристаллография. А что в кристаллах, в первую очередь, может привлечь внимание математиков ?

Цель урока: выделить особую группу многогранникникников и дать понятие о правильных многогранникникниках; выявить свойство, характерное для всех выпуклых многогранникникников, точнее, установить существует ли закономерность между числами ребер, вершин и граней выпуклого многогранникникника. представить результаты проектно- исследовательской деятельности учащихся по данной теме.

Он ответил, что легче всего поучать других, а труднее – познать самого себя

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК- выпуклый многогранникникник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер. Результаты проектно-исследовательской работы (Приложение 3). задание 1

Проблема: «Много ли существует видов правильных многогранникникников?» (Приложение 3). задание 2.

1). n = 3 60° · 3 = 180° < 360° 2). n = 4 60° · 4 = 240° < 360° 3). n = 5 60° · 5 = 300° < 360° 4). n = 6 60° · 6 = 360° (многогранникникный угол совпадает с плоскостью) Вывод: Существует 3 вида правильных многогранникникников, гранями которых являются правильные треугольники Тетраэдр Октаэдр Икосаэдр

1). n = 3 90° · 3 = 270° < 360° 2). n = 4 90° · 4 = 360° = 360° (многогранникникный угол совпадает с плоскостью) Вывод: Существует 1 вида правильного многогранникникника, гранями которых являются квадраты Куб (гексаэдр)

1). n = 3 108° · 3 = 324° < 360° 2). n = 4 108° · 4 = 432° > 360° Вывод: Существует 1 вид правильного многогранникникника, гранями которых являются правильные пятиугольники Додекаэдр

1). n = 3 120° · 3 = 360° = 360° (многогранникникный угол совпадает с плоскостью) Вывод: НЕ существует правильного многогранникникника, гранями которых являются правильные шестиугольники.

Куб (гексаэдр) Тетраэдр Октаэдр Икосаэдр Додекаэдр ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА

С незапамятных времен тянется история драгоценных кристаллов. Пример тому – история одного из самых замечательных алмазов – алмаза «Кохинор». Первые известия об этом алмазе приходят к нам из Древней Индии. Многие века он был родовой ценностью раджей. Но в 1526 году бесценный камень оказался в руках могущественных Моголов. И с тех пор стал камнем раздора. И вот в 1739 году персидский хан Надир обманом узнал, что владелец камня Великий Могол Мухаммед носит алмаз в тюрбане. При прощальном визите шах Надир предложил в знак вечной дружбы обменяться тюрбанами. Когда новый хозяин размотал тюрбан и увидел алмаз, он воскликнул «Кох и нур!», что означает «гора света». В 1848 году алмаз попал как военный трофей в сокровищницу английской короны. Английская королева дала указание сделать огранку вдоль ребер алмаза золотой нитью. Но огранка не была сделана, так как ювелир не сумел рассчитать максимальную длину золотой нити, а сам алмаз ему не показали. Ювелиру были сообщены следующие данные: число вершин В=54, число граней Г=48, длина наибольшего ребра L= 4 мм. А вы сумеете найти максимальную длину золотой нити?

Тема: Зависимость между числами вершин, граней и ребер выпуклого многогранникникника. Гипотеза: Если существует зависимость между числами вершин, граней и ребер, то ее можно выразить формулой и по ней найти число ребер выпуклого многогранникникника. Задание 3. Исследовательская работа.

Правильный многогранникникник Число граней вершин рёбер Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

Правильный многогранникникник Число граней вершин рёбер Тетраэдр 4 46 Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

Правильный многогранникникник Число граней вершин рёбер Тетраэдр 4 46 Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

Правильный многогранникникник Число граней вершин рёбер Тетраэдр 4 46 Куб Октаэдр 8612 Додекаэдр Икосаэдр

Правильный многогранникникник Число граней вершин рёбер Тетраэдр 4 46 Куб Октаэдр 8612 Додекаэдр Икосаэдр

Правильный многогранникникник Число граней вершин рёбер Тетраэдр 4 46 Куб Октаэдр 8612 Додекаэдр Икосаэдр

Правильный многогранникникник граней и вершин (Г + В) рёбер (Р) Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

Правильный многогранникникник граней и вершин (Г + В) рёбер (Р) Тетраэдр 86 Куб 1412 Октаэдр 1412 Додекаэдр 3230 Икосаэдр 3230

Правильный многогранникникник граней и вершин (Г + В) рёбер (Р) вывод Тетраэдр 86В+Г=Р+2 Куб 1412В+Г=Р+2 Октаэдр 1412В+Г=Р+2 Додекаэдр 3230В+Г=Р+2 Икосаэдр 3230В+Г=Р+2

Теорема Эйлера Число вершин плюс число граней минус число рёбер равно двум. Число вершин плюс число граней минус число рёбер равно двум. В + Г – Р = 2 Леонард Эйлер (1707 – 1783 гг.) немецкий математик и физик

Сообщение «О правильных многогранникникниках и о кристаллах». Результаты проектно-исследовательской работы

Задача 1: вычислить длину золотой нити, необходимую для огранки кристалла Кохинор. ( В=54, Г=48, L=4 mm) Задача 2 «Необходимо пройти вдоль ребер выпуклого многогранникникника. Можно ли обойти все вершины этого многогранникникника, проходя по каждому ребру только один раз?»

Создать презентации (в рамках проекта «Кристаллы»): «Кристаллы в живой природе»; «Применение кристаллов». П учебник «Геометрия»

Какие многогранникникники являются правильными Перечислите свойства, характерные для всех выпуклых многогранникникников Существует ли закономерность между числами ребер, вершин и граней выпуклого многогранникникника. Теорема Эйлера : Число вершин плюс число граней минус число рёбер равно двум. В+Г=Р+2

Кристалл является символом неживой природы, но согласно современным данным, молекула ДНК представляет собой одномерный апериодический кристалл. Следовательно, кристаллы – это не только символ неживой природы, но и основа жизни на Земле Мы изучили свойство, характерное для всех выпуклых многогранникникников, и установили закономерность между числами ребер, вершин и граней выпуклого многогранникникника.