Решение квадратных уравнений с неизвестными комплексными числами. Работа выполнена от имени учащегося учителем математики Хакимовой Н.Н. МОУ «Восточненская СОШ» Тындинского района Амурской области

Проблемный вопрос: Имеет ли решение квадратное уравнение, если дискриминант - отрицательное число?

Цели исследования: Доказать, что квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом имеет решение.

Задачи исследования: 1. Изучить комплексные числа. Рассмотреть примеры действия с комплексными числами. 2. Рассмотреть примеры решения квадратных уравнений с комплексными неизвестными.

Методы исследования Изучение литературы по данной теме; Изучение сайтов по данной теме; Статистический метод (метод решения задач и примеров по данной теме)

Ход исследования: Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами.

Комплексными числами называют выражения вида а+bi, где а и b – действительные числа, i – такое комплексное число, что i² = -1

Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z 2 = a, где а - заданное число, z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение: 1) имеет один корень z=0, если а=0; 2) имеет два действительных корня z 1,2 = ±, если а>0; 3) не имеет действительных корней, если а

Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z 2 =-1. Так как i²= - 1,то z² = i² или z² - i² =0 (z-i)(z+i)=0 z = ±i

Используя равенство i²=-1

Решить уравнение: х² –8 х+25=0 D= = - 9

Выводы: В ходе исследования было изучено понятие комплексных чисел, история их возникновения. Рассмотрены примеры действий с комплексными числами. Приведены примеры решения уравнений с комплексным переменным, что позволяет решить любые квадратные уравнения, даже с отрицательным дискриминантом. Гипотеза подтверждена.

Используемые материалы: _kvadratnykh_uravnenijj.html

Благодарим за внимание.