числа Комплексные числа

N (+;*) Z (+;*;-) Q (+;*;-;:) R (+; *;-;:;корень)

Основная задача алгебры – решение уравнений и систем уравнений. Их умели решать уже в 3 веке (греческий математик Диофант - «Арифметика» ) В 5 веке в трудах индийских математиков появились задачи, для решения которых требовались квадратные уравнения, но рассматривались только положительные корни. 13 – 16 века – немецкий математик Штифель рассмотрел уже и отрицательные корни и свёл все способы решения уравнений в одно правило. 16 век – французский математик Франсуа Виет, служивший шифровальщиком при королевском дворе, впервые ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов

16 век – Италия. Математические диспуты – поединки.. Побеждал тот, кто решал больше задач. Победитель не только награждался славой и назначенным денежным призом, но и мог занять университетскую кафедру, а потерпевший поражение часто терял занимаемое место. 20 февраля 1535 года состоялся один из таких диспутов, где один из виднейших математиков того времени Николо Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником, который не решил ни одной из 30 предъявленных ему задач.

Тарталья открыл формулу для нахождения корней кубических уравнений и, как полагалось по обычаям того времени, держал её в секрете. Позднее он частично раскрыл свою тайну итальянскому математику Джероламо Кардано, который опубликовал эту формулу и был обвинён Тартальей в нарушении клятвы. Но формула и по сей день называется формулой Кардано.

Кардано – привёл решение уравнения четвёртой степени. Начались поиски формул, которые сводили бы решение уравнений высших степеней к извлечению корней («решение в радикалах»), которые продолжались около трёх столетий. Лишь в начале 19 века Нильс Абель и Эварист Галуа доказали, что уравнения степеней выше четвёртой в общем случае в радикалах не решаются.

Теорему о числе корней уравнения n– ой степени сформулировал Рене Декарт, при этом допуская существование не только истинных (положительных) и ложных (отрицательных) корней, но и воображаемых, которые получались при извлечении квадратного корня из отрицательного числа. Долгое время к множеству таких чисел, где существует величина, квадрат которой равен отрицательному числу, относились, как к чему – то сверхъестественному

Множество комплексных чисел – множество выражений вида a + bi, где а и b – действительные числа, i - некоторый специальный знак.

Основные правила: а + bi = с + di тогда и только тогда, когда а = с и b = d сумма выражений: (а + bi) + (с + di) = ( а + с) + (b + d)i произведение выражений: (а + bi)(с + di) = (ас – bd) + (ad + bс)i а = а + 0i 0 = 0 + 0i bi = 0 +bi i = 0 + 1i i² = -1, где i– мнимая единица

z = a + bi z – комплексное число a + bi – алгебраическая форма комплексного числа a – действительная часть числа z b – мнимая часть числа z i² = 1, где i – мнимая единица

Примеры 1. (3 + 2i) + (-1 + 3i) = (3-1) + (2 +3)i = 2 + 5i 2. (-1 + 5i) + (-1 + (-5)i) = (-1-1) + (5 - 5)i = i = (7 + 2i) + (-7 + 1i) = (7 – 7) + (2 + 1)i = 0 + 3i = 3i 4. (4 + (-3)i) + ( i) = (4 – 4) + (-3 + 3)i= 0 + 0i = 0 5. (3 + 2i)(-1 +3i) = (-3 – 6) + (9 – 2)i = i 6. (-1 + 5i)(-1 + (-5)i) = (1 + 25) + (5 – 5)i = i = 26

Для комплексных чисел справедливы основные законы арифметических действий 1 Переместительный закон: а + в = в + а 2 Сочетательный закон: (а + в) + с = а + +(в + с) 3 Распределительный закон: а(в + с) = =ав + ас

Арифметические действия с комплексными числами --- такие же, как и с алгебраическими выражениями; NB! i² = -1

Тренировочные упражнения 1. (3 + 2i) + (-1 + 3i) 2. (-1 + 5i) + (-1 + (-5)i) 3. (7 + 2i) + (-7 + 1i) 4. (4 + (-3)i) + ( i) 5. (3 + 2i)(-1 +3i) 6. (-1 + 5i)(-1 + (-5)i) i) ² 8. (5 + 3i)(5 – 3i) 1 –6: сравни ответы с уже решёнными по основным правилам примерами

Примеры для самостоятельного решения 1. (3 + 2i) + (1 + 5i) 2. (-5 + i) + (1 – 4i) 3. (-5 + 7i) + (5 – i) 4. (3 + 2i) (1 + 5i) 5. (-5 + i) (1 – 4i) 6. (5 – 2i) (5 – i) 7. (5 + 2i)² 8. (3 – 2i)² 9. (4 + i)²

Проверь себя: 1) 4 + 7i 4) i 7)21 – 10i 2) -4 – 3i 5) i 8) 5 – 12i 3) 6i 6) 23 – 15i 9)15 + 8i

1) (3 – 11i) + (4 + 15i) 2) (8- i) + (-8 + i) 3) (7 – 5i) + (8i – 7) Домашнее задание: 4) (7 – i) (5i + 1) выполнить действия (1 – 12) 5) (3i + 4) (4 – 7i) 6) -5i -7) (4 + 3i) 7) 2 + i)² 8) (2 – 3i)² 9) (7 + 2i)² 10) (6 – 5i) (6 + 5i) 11) (2 + i)³ 12) (1 – i)³