Длиной или модулем вектора Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВВАВектор направленным отрезком или вектором Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором АВ a АВ = АВ АВ = АВ Начало вектора Конец вектора АВВектор a

Любая точка плоскости также является вектором. нулевым В этом случае вектор называется нулевымM MM = 0 Длина нулевого считается равной нулю MMВектор 0 Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора.

Назовите векторы, изображенные на рисунке. Укажите начало и конец векторов.N EF AВ CD ЕFЕFЕFЕFВектор AB CD NN 0 или

коллинеарныййейми, Два ненулевых вектора называются коллинеарныййейми, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. ab c ab ca cb Коллинеарные, сонаправленные векторы oaocob Нулевой вектор Нулевой вектор считается коллинеарныййейм, сонаправленным с любым вектором.

коллинеарныййейми, Два ненулевых вектора называются коллинеарныййейми, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.a b c ba Коллинеарные, противоположно направленные векторы противоположно направленные векторы bc

АВСD – параллелограмм. А ВС D ba равными, Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.ab = 1 2 ВA = CD; AВ = DC; CВ = DA; AD = BC. О Найдите еще пары равных векторов. О – точка пересечения диагоналей.

Если точка А – начало вектора, то говорят, что вектор отложен от точки А вектор отложен от точки ААaa Вектор отложен от точки А a a М c От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору, вектор, равный данному вектору, и притом только один. и притом только один.a ac = ca c a =

М a n c D Отложить вектор, равныйa1 2 от точки М от точки D

С А В D 4 3 АВ = 3 ВC = 4 DС = 3 MА = 1,5 СВ = 4 АС = 5 5 МC = M 1. В прямоугольнике АВСD АВ=3 см, ВС=4 см, точка М – середина стороны АВ. Найдите длины векторов.

Укажите пары коллинеарныййейх (сонаправленных) векторов, которые определяются сторонами параллелограмма MNPQ. M N P Q MNQPNMPQQMPN MQNP

Укажите пары коллинеарныййейх (противоположно направленных) векторов, которые определяются сторонами параллелограмма MNPQ. M N P Q MNPQNMQPMQPN QMNP

Укажите пары коллинеарныййейх (сонаправленных) векторов, которые определяются сторонами трапеции АВСD с основаниями AD и BC. А В С D СВDAВСAD Сонаправленные векторы Противоположноонаправленные векторы ВСDAСВAD

Укажите пары коллинеарныййейх векторов, которые определяются сторонами треугольника FGH. F G H Коллинеарных векторов нет

В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Равны ли векторы. Обоснуйте ответ. А В С D AВ = DC; ВС = DА; AО = ОC; О AС = ВD.

Точки S и Т являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы. M NL K NL = KL; MS = SN; MN = KL; TS = KM; S T TL = KT.

АВСD – параллелограмм. По данным рисунка найти А В С DАВ К 12 = 12

D O 2. АВС – равнобедренный треугольник. О – точка пересечения медиан. По данным рисунка найти А В СDO 10 = ВOВOВOВO= 4

3. АВСD – прямоугольная трапеция. Найти ВD, CD, AC A B C D Решение К

Сложение векторов. Правило треугольника. Сложение векторов. Правило треугольника.a ab b a + b А В С АВ + ВС = АС a + 0 = a ! ! Для любого нулевого вектора справедливо равенство

= OK АВ + ВС = Правило треугольника. АС АО + ОР = АР MN + NR = MR MK + KM = MM = 0 MK + OM = OM + MK = KE АS + SС = АС NM + ML = NL RP + PR = RR = 0 ZK + KZ = ZZ = 0 DE + KD = KD + DE = KD + DE =

Правило треугольника. АС = АВ + ВС OB + ВN ON = AR + RS AS = XK + KH XH = MA + AD MD = OF + FP OP = ON + NВ OB = RS + SA RA = KH + HX KX = AM + MD AD = FP + PO FO =

По правилу треугольника складываются и коллинеарныййейе векторы, хотя при их сложении треугольника и не получаетсяa b a + b a b b

a b b c f c + f

Законы сложения векторов Для любых векторов справедливы равенства: a, b, c a, b, c1 2 a + b = b + a a + b = b + a переместительный закон сочетательный закон (a + b) + c = a + (b + c) ! ! Теорема

Сложение векторов. Правило параллелограмма. a a a+b b b

Сложение векторов. Сложение векторов. Правило многоугольника. Правило многоугольника. = АO АВ + ВС + СD + DO a c n m c m n a+c+m+n a

Правило многоугольника можно сформулировать также следующим образом: если А 1, А 2, …, А n – произвольные точки плоскости, то = А 1 A n А 1 А 2 + А 2 А 3 + … + А n-1 A n А2А2 А3А3 А4А4 А5А5 А6А6 А7А7 А1А1

! Если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору. a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 = 0 a1a1a1a1 a1a1a1a1 a2a2a2a2 a2a2a2a2 a3a3a3a3 a4a4a4a4 a5a5a5a5 a3a3a3a3 a4a4a4a4 a5a5a5a5

противоположным Вектор называется противоположным вектору, если векторы и имеют равные длины и противоположно направлены. a1a1a1a1b -b-b-b-b aa a1a1a1a1 -b-b-b-bb Вектор, противоположный вектору А В А В ВА Вектор ВА, противоположный АВ вектору АВ a + (-a) = 0 ВА = – АВ ВА = – АВ a a1a1a1a1 a = a 1 ; a a 1

Вычитание векторов. a a -b-b-b-b b a - b b a – = a +(– b)b)b)b) -b-b-b-b

Вычитание векторов. MF - SF = MF + FS = MS RO - RM = RO + MR = MR + RO MD - SD = MD + DS = MS - OS - ST = - OS - ST = SO + TS = TS + SO RO - AO = RO + OA = RA RO - RO = RO + OR = RR = 0 = TO = MO

( ) Найдите АВ + AD – DC – OD ABCD - прямоугольник А BC D АВ + AD – DC – OD = АС – DC – OD = АС + CD + DO = АО О3 4 5

Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор, длина которого равна, причем векторы и сонаправлены при и притивоположнонаправлены при. ak a b ak k>0 b k

Умножение вектора на число. a b2b 2bb b2b2= 2 a1 2 a1a 2 a1a 21=

Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. o a o = Произведение нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. o o k = Для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарныййей. ak aka a - 2 a - a 12 1 a 1 2

A BCDN MRESF HJKLZ Q VTYU Назовите вектор, который получится в результате умножения. I OPXG

XT = XT х – 43 – 0 СК = JO х A BCDN MRESF HJKLZ Q VTYU I OPXG JO = CK х XD = CK х NN = XD х ХТ = XD х не существует х не существует 1 TX = XT х

2 ВК = ОК х 3 A C O K T B О – точка пересечения медиан треугольника.31 – КO = ВK х ОВ = КО х

х DO = KF –4 –4 A C 7 TB AC = TВ х 3 TВ = 7TВ = 7TВ = 7TВ = 7 AC = 3 O D KF 10 2,5 DO = 10 KF = 2,5 73 TB = AC х 37 KF = DO х 41 –

х D S LK SD = LK SD LK Длина вектора SD на 25% меньше длины вектора LK1,25 A C TB ТВ = АС х TB АС Длина вектора TB на 25% больше длины вектора АС -0,75

BC = DA 8 ВС ABCD – трапеция. А D 10 х –0,8 –0,8 DA = BC х – 810

– 3 8В С ABCD – параллелограмм. CS : SB = 5 : 3 А D BS = DA х – 8 3S х DA = BS

Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами. k (l a) (kl)a = Сочетательный закон Первый распределительный закон Второй распределительный закон k (a + b) = ka + kb (k+l)a = ka + la Для любых, и любых чисел, справедливы равенства:abbkl 1 2 3

781 Пусть х = m + n, y = m – n Выразите через и векторыmn 2 х – 2 у 2 х + у 21 –х – у 31

2 NM = NB + NA + АС + ВM + CM 0 ( ) A NB + BM NM = + 2 NM = AC : 2 NM = AC 12 Теорема Докажите теорему о средней линии треугольника. В С N M NA + AС + CM 0 ( ) NM = AC 12 NMAC

2NM = NB + NA + BС + AD + CM +DM 0 ( ) ( ) Правиломногоугольника Теорема Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. 0 ( ) A NM = + : 2 ВС NM NA + AD + DM D NB + BС + СМ 2NM = ВC + AD NM = (BC+AD) 12 NM = BC+AD 12 NMBCAD;

Задача 1 Построить вектор С А В

Построить вектор. С А В DACЗадача 2 АВСD – параллелограмм.

Задача 3 АВСD – ромб. Е ВС, ВЕ : ЕС = 3 : 1, К – середина DC, АВ =, AD =. Выразите через векторы и векторы: С А Вab aD b a b E K AE AK KE

АВС – треугольник, М-точка пересечения его медиан, О - произвольная точка плоскости. Докажите, что Задача 4 ОМ= (ОА + ОВ+ОС) 13С А ВM O А 1 B 1 C 1

С АВД M N MN= (AD + CВ) 12 MN= MA + AD+DA= = (CD+DA)+ AD + (DC + CB) = 1212 = (AD + CВ) 12 = CA +AD + DB = 1212

7 x x x x A C D B Ma b A C D B Mx y K DМ= ? МK= ?МK= ?МK= ?МK= ?

б)б) MB – MC + BA 1. Упростить: a) KM - NR + PQ – x – KN= RQ 2. Найти x из условия: EA + PC – QM – PA + QN + CF 3. Найти x и y из условия: a) 4a – b=x a + (3y-1) b x a +y b= (y-1) a + (x+1) b б)б)

Лемма 1. a b Если векторы и коллинеарныййей и, то существует такое число, что a bk a=0 a=0b=ka ab ba 2.

Разложение вектора по двум неколлинеарныймйейм векторам a a p b b p O P L p = OP = OL+LP p=x a+y b =x a+y b

a) векторы и коллинеарныййей; 1. Векторы и неколлинеарныймйей; Найдите все такие действительные числа, что: d= 4a - xb d= 4a - xbab с =2a-3b cd в) разложите вектор по векторам и. 2a - 5b2a - 5b2a - 5b2a - 5b с – 2d б) векторы и коллинеарныййей; aсb

2. В трапеции ABCD (BC AD) BC=2, AD=5, O-точка пересечения диагоналей. Найдите такое число x? Если оно существует, что: a) AO=x · OC б)б) OD=x · BD в)в) OA=x ·O B г)г) OK=x ·AD OA=x ·O B д)д), где К лежит на стороне CD и OK AD

Дома. 1. В параллелограмме ABCD АВ=2 см, ВС=5 см, ABC=112°. А) постройте этот параллелограмм с помощью циркуля и линейки; Б) постройте вектор В)измерьте длину вектора Г)измерьте угол между векторами и 2. В треугольнике ABC AB=BC=10, AC=12. Разложите вектор по векторам и А) вектор (BP-биссектриса); Б) вектор (AH – высота); В) вектор (O-центр вписанной окружности). DE=0,5 · OC - 3 AB BP DE DA AB BC DE OP AH