Метод размерности Идея проекта: Яшкова Е. Ю.

В физике… нет места для путаных мыслей… Действительно понимающие природу того или иного явления должны получать основные законы из соображений размерности. Э.Ферми

– совокупность единиц физических величин, Система единиц – совокупность единиц физических величин, образованных в соответствии с принятыми образованных в соответствии с принятыми принципами для некоторой принципами для некоторой системы физических величин. системы физических величин. СГС (Сантиметр – грамм - секунда) МКГСС ( Метр - килограмм-сила – секунда) СИ ( Метр – килограмм – секунда - Ампер – Кельвин – моль – кандела) Преимущества: 1. Отсутствуют переводные коэффициенты. 2. Нет дробных размерностей

Размерность ф.в. - выражение, показывающее связь данной физической величины с величинами, положенными в основу системы единиц. Записывается в виде символов соответствующих основных величин с определенными показателями степеней. Пример: Размерность ф.в. - выражение, показывающее связь данной физической величины с величинами, положенными в основу системы единиц. Записывается в виде символов соответствующих основных величин с определенными показателями степеней. Пример: формула размерность u=L/t (РПД) [ u ]=[L/T]=[L·T -1 ] a=2L/t 2 [a]=[L/T 2 ]=[L·T -2 ] Безразмерные величины- величины, в которые все основные величины входят в степени, равной нулю.

Таблица основных единиц СИ Величина Единица Наименование РазмерностьНаименованиеобозначение Что принято за единицу ДлинаLметрм Метр представляет собой расстояние, проходимое в вакууме плоской электромагнитной волной за 1/ долю секунды ВремяTсекундас Секунда равна периодов излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133

Масса Мкилограммкг Килограмм равен массе международного прототипа килограмма Температура Т0Т0Т0Т0 кельвинК Кельвин равен 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды Количество вещества Nмольмоль Моль равен количеству вещества системы, содержащий столько частиц, сколько содержится атомов в углероде- 12 массой 0,012 кг Сила электрического тока IамперА Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия =2*10ˉ 7 Н

Сила света Jканделакд Кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540*10¹² Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср

Таблица производных единиц СИ Величина ЕдиницаКомментарий наименование размерность наименование обозначение площадь L²L²L²L² Квадратный метр м²м²м²м² плотность MLˉ³ Килограмм на кубический метр кг/м³ сила МLТˉ² ньютонНF=ma давление Lˉ¹MTˉ² паскаль Па p=F/S жесткость МТˉ² Ньютон на метр Н/м K=F/х импульс МLТˉ¹ Килограмм-метр в секунду Кг·м/с p=mu энергия L²МТˉ² джоуль Дж Е=mv 2 /2=mgh

Количество теплоты L²МТˉ² джоуль ДжQ=FL Удельная теплоемкость джоуль- на килограмм- кельвин C=Q/mT Электрический заряд ТIТIТIТIкулон Кл Напряженность электрического поля LМТˉ³ Вольт на метр В/м Удельное сопротивление L³MTˉ³Iˉ² Ом на метр Ом·м Магнитная индукция MTˉ²Iˉ¹ тесла Тл

Алгоритм решения задач методом размерности 1. Записать дано. 2. Составить уравнение зависимости искомой величины от заданных в виде: A=CB α E β D γ ….,где С- безразмерная const; B,E,D- ф.величины A=CB α E β D γ ….,где С- безразмерная const; B,E,D- ф.величины α,β,γ - действительные числа α,β,γ - действительные числа 3. Записать наименование единиц измерения всех величин через основные единицы СИ. 4. Подставить наименования физ.величин в составленные уравнения 5. Составить равенства показателей степеней однородных величин с учетом правил действий со степенями. 6. Решить систему, найти показатели степеней 7. Подставить найденные показатели степеней в записанное уравнение. NB! Числовой коэффициент из теории размерности определить нельзя.

Задача: Как зависит от пройденного пути h скорость свободного падения тела, если начальная скорость его равна нулю? Энергетический Энергетический ЗСЭ: mgH 1 =mu² /2 + mgH 2 ЗСЭ: mgH 1 =mu² /2 + mgH 2 mu²/2=mg(H 1 -H 2 ) mu²/2=mg(H 1 -H 2 ) u= 2g(H 1 -H 2 )= 2gh u= 2g(H 1 -H 2 )= 2gh Н1Н1 h H2H2 u

Метод размерности Метод размерности U=Cg α h β, где С=const [U]=[м/с]=[мс -1 ]; [g]=[м/с 2 ]=[мс -2 ]; [h]=[м] мс -1 =( мс -2 ) α (м) β мс -1 =м α с -2α м β 1=α + β -1=-2α α=1/2 β=1/2 U=Cg 1/2 h 1/2 =С gh

Эксперименты показали, что скорость звука в газах зависит от давления и плотности среды. Сравните скорости звука в газе для двух состояний. Плотности и давления в средах считать заданными. V=С· р α · ρ β, где С=const V=С· р α · ρ β, где С=const [V]=[м· с -1 ]; [р]= [Н/м 2]=[кг· м/(с 2 м 2 )] = =[кг· м -1 · с -2 ]; [ρ]=[кг/м 3]=[кг· м -3 ] [V]=[м· с -1 ]; [р]= [Н/м 2]=[кг· м/(с 2 · м 2 )] = =[кг· м -1 · с -2 ]; [ρ]=[кг/м 3]=[кг· м -3 ] м· с -1 =кг α · м -α · с -2α · кг β · м -3β м· с -1 =кг α · м -α · с -2α · кг β · м -3β 1=-α-3β 1=-α-3β -1=-2α α=½ -1=-2α α=½ 0=α+β β=-½ 0=α+β β=-½ V=C· р/ρ V 1 / V 2 =(р 1 /р 2 )· (ρ 2 / ρ 1 ) V=C· р/ρ V 1 / V 2 =(р 1 /р 2 )· (ρ 2 / ρ 1 )

Оцените силу сопротивления тел, движущихся в жидкости. F=C · V α · ρ β · S γ, где С=const F=C · V α · ρ β · S γ, где С=const [Н]=[кг· м· с -2 ]; [V]= [м· с -1 ]; [ρ]= [кг· м -3 ]; [S]=[м 2 ] [Н]=[кг· м· с -2 ]; [V]= [м· с -1 ]; [ρ]= [кг· м -3 ]; [S]=[м 2 ] кг· м· с -2 = м α · с -α · кг β · м -3β · м 2γ кг· м· с -2 = м α · с -α · кг β · м -3β · м 2γ 1=β 1=β 1=α-3β+2γ γ=(1-α+3β)/2 1=α-3β+2γ γ=(1-α+3β)/2 -2=-α α=2 γ=(1-2+3)/2=1 -2=-α α=2 γ=(1-2+3)/2=1 F=C·V 2 ·ρ· S F=C·V 2 ·ρ· S

Найти связь скорости распространения упругих волн V в стержне от модуля Юнга Е и плотности материала ρ V=С· Е α ·ρ β, где С=const V=С· Е α ·ρ β, где С=const [V]=[м· с -1 ]; [Е]=[Па]= [кг· м -1 · с -2 ]; [ρ]=[кг· м -3 ] [V]=[м· с -1 ]; [Е]=[Па]= [кг· м -1 · с -2 ]; [ρ]=[кг· м -3 ] м· с -1 = кг α · м -α · с -2α · кг β · м -3β м· с -1 = кг α · м -α · с -2α · кг β · м -3β 1=-α-3β 1=-α-3β -1=-2α α=½ -1=-2α α=½ 0=α+β β= -½ 0=α+β β= -½ V=C· Е/ρ V=C· Е/ρ

Объем газового пузыря, образовавшегося в результате глубинного подводного взрыва колеблется с периодом, пропорциональным р α ρ β ε γ, где р – давление, ρ – плотность воды, ε – полная энергия взрыва. Найти α,β,γ. Т = Ср α ρ β ε γ Т = Ср α ρ β ε γ [Т]=[с]; [p]=[кг· с -2 · м -1 ]; [ρ]=[кг· м -3 ]; [Т]=[с]; [p]=[кг· с -2 · м -1 ]; [ρ]=[кг· м -3 ]; [ε]=[кг· с -2 · м 2 ] [ε]=[кг· с -2 · м 2 ] с = кг α · с -2α · м -α · кг β · м -3β · кг γ · м 2γ · с -2γ с = кг α · с -2α · м -α · кг β · м -3β · кг γ · м 2γ · с -2γ 1=-2 α -2γ (1) 1=-2 α -2γ (1) 0=α+β+γ (2) 0=α+β+γ (2) 0=- α-3β+2γ (3) 0=- α-3β+2γ (3)

(2)+(3): (2)+(3): 0= -2β+3γ β=3γ/2 (4) 0= -2β+3γ β=3γ/2 (4) Из (1): α=(-2γ-1)/2=-γ-½ (5) Из (1): α=(-2γ-1)/2=-γ-½ (5) (4) и (5) в (3): (4) и (5) в (3): 0=γ+1/2 - 9/2γ+2γ γ=1/3 (6) 0=γ+1/2 - 9/2γ+2γ γ=1/3 (6) (6) в (4): β=½ (6) в (4): β=½ (6) в (5): α=-5/6 (6) в (5): α=-5/6 Т=Ср -5/6 ρ 1/2 ε 1/3 Т=Ср -5/6 ρ 1/2 ε 1/3

Ученые обратили внимание на то, что единицы длины, времени и массы «приспособлены» к людям и связаны с особенностями планеты Земля, но могут оказаться «неудобными» при контакте с представителями внеземных цивилизаций. Поэтому было предложено в качестве основных механических единиц взять фундаментальные постоянные с=3·10 8 м/с, G=7· Н·м 2 /кг 2 и ħ=1· Дж·с. Тогда единицы длины l p, времени t p и массы m p будут производными от этих физических величин и выражаться через них. Такие единицы назвали планковскими. Выразите единицы длины l p, времени t p и массы m p через «новые» основные единицы с, G и ħ, взятые в соответствующей степени, рассчитайте их. Примите коэффициент пропорциональности между производной единицей и основными единицами равным 1.

1. l p =c α G β ћ γ 1. l p =c α G β ћ γ 2. [с]=[м с -1 ]; 2. [с]=[м с -1 ]; [G]=[Н м 2 /с 2 ]=[кг м/с 2 м 2 /с 2 ]=[м 3 с -2 кг -1 ]; [G]=[Н м 2 /с 2 ]=[кг м/с 2 м 2 /с 2 ]=[м 3 с -2 кг -1 ]; [ћ]=[Дж с]=[Н м с]=[кг м 2 с -1 ] [ћ]=[Дж с]=[Н м с]=[кг м 2 с -1 ] 3. м = м α с -α м 3βс -2β кг -β кг γ м 2γс -γ 3. м = м α с -α м 3βс -2β кг -β кг γ м 2γс -γ 4. 1=α+3β+2γ (1) 4. 1=α+3β+2γ (1) 0= -α-2β-γ (2) 0= -α-2β-γ (2) 0= -β+γ β=γ (3) 0= -β+γ β=γ (3) (3) в (2): 0= -α-3γ α=-3γ (4) (3) в (2): 0= -α-3γ α=-3γ (4) (3) и (4) в (1): 1=-3γ+3γ+2γ γ=½ (5) (3) и (4) в (1): 1=-3γ+3γ+2γ γ=½ (5)

(5) в (3): β=½ (5) в (3): β=½ (5) в (4): α=-3/2 l p =c -3/2 G ½ ћ ½ =Gћ/c 3 (5) в (4): α=-3/2 l p =c -3/2 G ½ ћ ½ =Gћ/c 3 l p =1, м l p =1, м 1. t p =c α G β ћ γ 1. t p =c α G β ћ γ 2. с = м α с -α м 3βс -2β кг -β кг γ м 2γс -γ 2. с = м α с -α м 3βс -2β кг -β кг γ м 2γс -γ 3. 1= -α-2β-γ (1) 3. 1= -α-2β-γ (1) 0=α+3β+2γ (2) 0=α+3β+2γ (2) 0= -β+γ β=γ (3) 0= -β+γ β=γ (3) (3) в (2): α= -5γ (4) (3) в (2): α= -5γ (4) (3) и (4) в (1): (3) и (4) в (1): 1=5γ-2γ-γ γ=½ (5) 1=5γ-2γ-γ γ=½ (5) (5) в (3): β=½ t p =c -5/2 G ½ ћ ½ =Gћ/c 5 (5) в (3): β=½ t p =c -5/2 G ½ ћ ½ =Gћ/c 5 (5) в (4): α=-5/2 t p =5, с (5) в (4): α=-5/2 t p =5, с t p = l p /с t p = l p /с

1. m p =c α G β ћ γ 1. m p =c α G β ћ γ 2. кг = м α с -α м 3βс -2β кг -β кг γ м 2γс -γ 2. кг = м α с -α м 3βс -2β кг -β кг γ м 2γс -γ 3. 1=-β+γ (1) 3. 1=-β+γ (1) 0=α+3β+2γ (2) 0=α+3β+2γ (2) 0= -α-2β-γ (3) 0= -α-2β-γ (3) (2)+(3): 0=β+γ β=-γ (4) (2)+(3): 0=β+γ β=-γ (4) (4) в (1): 1=2γ γ=½ (5) (4) в (1): 1=2γ γ=½ (5) (5) в (4): β= -½ (6) (5) в (4): β= -½ (6) (5) и (6) в (3): α= ½ (5) и (6) в (3): α= ½ Тогда, m p =c ½ G -½ ћ ½ =cћ/G Тогда, m p =c ½ G -½ ћ ½ =cћ/G m p =2, кг m p =2, кг

Применение: Метод размерности нашел плодотворное применение в тех областях физики (гидравлика, аэродинамика…),где строгое решение задачи часто наталкивается на значительные трудности из-за большого числа параметров, определяющих физические явления. Метод размерности нашел плодотворное применение в тех областях физики (гидравлика, аэродинамика…),где строгое решение задачи часто наталкивается на значительные трудности из-за большого числа параметров, определяющих физические явления. В экономике В экономике В математике (теорема Пифагора) В математике (теорема Пифагора)

Обсуждение метода зачастую не менее важно, чем решение задачи Обсуждение метода зачастую не менее важно, чем решение задачи