Перемещения a a1a1 b b1b1 A A1A1 ds B1B1 B линейные угловые A, u A, v A ab Обобщённое обозначение перемещения: ik Символ типа, места и направления перемещения ( по схеме ) Символ причины, вызвавшей перемещение ( индекс состояния системы с соответствующим воздействием ) 1 k 2 k 3 k ik nk k ( индекс состояния системы ) Конкретизация индекса состояния системы по виду воздействия: k F c t силовое воздействие ( нагрузки ) кинематическое воздействие ( смещения связей ) температурное ( тепловое ) воздействие – изменение температуры iF ic it i – от комбинаций воздействий F, c, t А А1А1 F i i – направление искомого перемещения iF А А1А1 i c ic t o t А А1А1 i it

Единичные перемещения Обозначение единичных перемещений: Символ типа, места и направления перемещения ( по схеме ) Символ причины, вызвавшей перемещение ( индекс состояния системы с соответствующим единичным воздействием ) k ( индекс состояния системы ) А А1А1 i i – направление искомого перемещения B1B1 Перемещения ( линейные, угловые ), возникающие от равных единице механических воздействий ( силовых или кинематических ), называются единичными перемещениями. От единичного силового воздействия От единичного кинематического воздействия Fk = 1Fk = 1 k ( индекс состояния системы ) А А1А1 i u B,k = 1 B Групповое перемещение Пример: относительное ( взаимное ) линейное перемещение точек А и В по направлению линии А В. А B i F B1B1 А1А1

МЕТОД МАКСВЕЛЛА – МОРА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ ( метод вспомогательных единичных нагрузок ) Типовые случаи вспомогательных единичных состояний а) при определении одиночных перемещений Линейное перемещение точки ( A ) Угол поворота сечения ( 1 ) или узла F F t o А i A1A1 i = ? А i i F i = 1 F q 1 1 i = ? 1 i M i = 1 б) при определении групповых перемещений Относительное ( взаимное ) линейное перемещение точек ( A и В ) А B i B1B1 А1А1 i А B F i = 1 i F Относительный ( взаимный ) угол поворота сечений ( 1 и 2 ) i F iF = ? q M i = 1

МЕТОД МАКСВЕЛЛА – МОРА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ ( метод вспомогательных единичных нагрузок ) Базовая формула ММ – М в общем случае деформируемой системы В случае линейно деформируемой системы (ЛДС) перемещения действительного состояния могут быть приняты в качестве виртуальных, т.е. k = F q t o A A1A1 ( j ) i = ? i Действительное состояние системы A i Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние F i = 1 i FtcFtc Состояние « i » – равновесное, его внутренние и внешние силы удовлетворяют принципу Лагранжа : W ext, ik + W int, ik = 0, i – символ состояния, внешние и внутренние силы которого совершают возможную работу; k – индекс виртуальных перемещений. W ext, i + W int, i = 0, R ( j ),i – индекс виртуальных перемещений. При одновременных смещениях связей ( 1 ), ( 2 ),…, ( j ),…, ( r ) : Из уравнения возможных работ, с учётом того, что F j = 1: базовая формула ММ – М

ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ A FiFi i i k A FkFk B A1A1 B1B1 ik kk kk – собственное перемещение ik – побочное перемещение Возможные работы внешних и внутренних сил i –го состояния на перемещениях k –го состояния: W ext, ik = – W int, ik ik FiFi FiFi ik = in v ( F i ) W ext, ik = – W int, ik = F i * ik FkFk FkFk kk F k ( ) d Действительная работа внешних сил k –го состояния: < < 1

ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ A FiFi i i k A FkFk B A1A1 B1B1 ik kk kk – собственное перемещение ik – побочное перемещение ik FiFi FiFi Действительная работа внешних сил k –го состояния: 0 = 1/2 W ext, ik = – W int, ik = F i * ik FkFk FkFk kk F k ( ) d 0 Для ЛДС FkFk FkFk kk F k ( ) d 0 U – ПЭУД Возможные работы внешних и внутренних сил i –го состояния на перемещениях k –го состояния: W ext, ik = – W int, ik ik = in v ( F i )

ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ A FiFi i i k A FkFk B A1A1 B1B1 ik kk Возможные работы внешних и внутренних сил i –го состояния на перемещениях k –го состояния: Действительная работа внешних и внутренних сил k –го состояния, потенциальная энергия упругой деформации (ПЭУД) ЛДС: W ext, ik = – W int, ik = F i * ik Теорема Клапейрона Выражения возможных и действительных работ внешних и внутренних сил и ПЭУД через внешние силовые факторы и перемещения ( через обобщённые нагрузки и обобщённые перемещения ).

ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ A FiFi i i k A FkFk B A1A1 B1B1 ik kk Выражения возможных и действительных работ внешних и внутренних сил и ПЭУД через внутренние силовые факторы ( напряжения ) и деформации x,i y,i z,i xy,i xz,i yz,i x,k y,k z,k xy,k yz,k zx,k dx dy dz

ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ Выражения возможных работ внешних и внутренних сил через внутренние силовые факторы в стержневых системах с прямолинейными элементами и стержнями малой кривизны F q В В1В1 i ds iF i F i = 1 F i ds Действительное состояние – силовое В iF W int, iF = ? QiQi Q i ( Q y,i ) NiNi NiNi M i ( M z,i ) M i + dM i z y ds QFQF NFNF QFQF NFNF MFMF M F +… Q F +… N F +… M F +… Q F +… N F +… ds MFMF Вспомогательное единичное состояние

ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ Выражения возможных работ внешних и внутренних сил через внутренние силовые факторы в стержневых системах с прямолинейными элементами и стержнями малой кривизны F q В В1В1 i ds iF i F i = 1 F i ds В iF W int, iF = ? QiQi Q i ( Q y,i ) NiNi NiNi M i ( M z,i ) M i + dM i z y ds QFQF NFNF MFMF QFQF NFNF MFMF d F ds F dvFdvF dvFdvF d F 0,F QFQF QFQF NFNF NFNF MFMF MFMF ~0~0 ds dW int, iF = – dW ext, iF = = – (dW M, iF + dW N, iF + dW Q, iF ) Для i -го равновесного состояния элемента ds линейно деформируемой системы: Изгиб Сдвиг Растяжение ( сжатие ) Вспомогательное единичное состояние Действительное состояние – силовое

ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ Выражения возможных работ внешних и внутренних сил через внутренние силовые факторы в стержневых системах с прямолинейными элементами и стержнями малой кривизны F q В В1В1 i ds iF i F i = 1 F i ds В iF W int, iF = ? QiQi Q i ( Q y,i ) NiNi NiNi M i ( M z,i ) M i + dM i z y ds ds F dvFdvF d F 0,F QFQF QFQF NFNF NFNF MFMF MFMF ~0~0 ds dW int, iF = – dW ext, iF = = – (dW M, iF + dW N, iF + dW Q, iF ) Для i -го равновесного состояния элемента ds линейно деформируемой системы: Изгиб Сдвиг Растяжение ( сжатие ) Вспомогательное единичное состояние Действительное состояние – силовое

ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВОЗМОЖНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ Выражения возможных работ внешних и внутренних сил через внутренние силовые факторы в стержневых системах с прямолинейными элементами и стержнями малой кривизны F q В В1В1 i ds iF i F i = 1 F i ds В iF W int, iF = ? Обобщение на случай пространственного сложного сопротивления стержня: j ds j Элемент ds j – му элементу / участку ( ) системы, имеющей m элементов / участков, тогда для всей системы: Вспомогательное единичное состояние Действительное состояние – силовое

ВЫРАЖЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОТ СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ВЫРАЖЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОТ СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ПО МЕТОДУ МАКСВЕЛЛА – МОРА F q В В1В1 i ds iF i F i = 1 F i ds В iF W int, iF = ? j ds j По базовой формуле ММ – М: iF = – W int, iF ljlj Вспомогательное единичное состояние Действительное состояние – силовое

ВЫРАЖЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОТ СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ВЫРАЖЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОТ СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ПО МЕТОДУ МАКСВЕЛЛА – МОРА F q В В1В1 i ds iF i F i = 1 F i ds В j ds j По базовой формуле ММ – М: iF = – W int, iF ljlj Учёт деформируемых ( нежёстких ) упругоподатливых связей в системе: c c c RjRj RjRj Закон Гука для упругих связей: R j = c j * j Жёсткости линейных и угловых упругих связей u – суммарное число внешних и внутренних упругих связей Вспомогательное единичное состояние Вариант записи формулы Максвелла – Мора для перемещения от силовых воздействий: Действительное состояние – силовое Изгиб Кручение Растяжение/сжатие Сдвиг

ВЫРАЖЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОТ СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ВЫРАЖЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОТ СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ПО МЕТОДУ МАКСВЕЛЛА – МОРА F q В В1В1 i ds iF i F i = 1 F i ds В j ds j По базовой формуле ММ – М: iF = – W int, iF ljlj Краткая запись формулы Максвелла – Мора для перемещения от силовых воздействий: Вспомогательное единичное состояние S … – обобщённое обозначение внутреннего силового фактора: S … M z,… M y,… M t,… N … Q y,… Q z,… C S – обобщённое обозначение жёсткости сечения при деформации, соответствующей силовому фактору S : CSCS EI z EI y GI t EA GA/k y GA/k z Действительное состояние – силовое

ВЫРАЖЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОТ СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ВЫРАЖЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОТ СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ПО МЕТОДУ МАКСВЕЛЛА – МОРА Приложение К вопросу об учёте деформации сдвига при определении перемещений y По закону Гука при сдвиге ds i F Формула выводится путем сопоставления выражений возможных работ по двум расчётным моделям элемента ds: 1. Формула для коэффициента k а) с фактическими касательными напряжениями i (y) в концевых сечениях элемента ds во вспомогательном i -ом единичном состоянии и фактическими деформациями сдвига F (y) в действительном состоянии: ё б) с обобщёнными силами ( поперечными силами Q i ) в концевых сечениях эле- мента ds в i -ом единичном состоянии и соответствующими обобщёнными перемещениями ( абсолютным сдвигом d v F ) в действительном состоянии: z y b( y)b( y) y ds i F QiQi QiQi d v F = 0,F * ds dy F ( y) QFQF QFQF h Значения коэффициента k для некоторых видов сечений: k = 6/5k = 10/9 k A/A w