Авторы работы: Нитченко Екатерина, Горшечникова Полина, Пепеляев Антон Руководители: Гринева Л.Д., Гремяченская Т.В., Крагель Т.П.

Цель работы Рассмотреть различные способы решения алгебраических задач на переливание жидкости.

Достижение указанной цели предполагает решение следующих задач: выявить, какие существуют способы решения задач на переливание; рассмотреть возможность применения геометрии, а именно способ математического бильярда, к решению подобных задач.

Самая древняя из задач на переливание – задача Пуассона. Знаменитый французский математик, механик и физик Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) решил эту задачу в юности и впоследствии говорил, что именно она побудила его стать математиком. Задача Пуассона

Один человек имеет в бочонке 12 пинт вина (пинта – старинная французская мера объема, 1 пинта 0,568 л) и хочет подарить половину вина, но у него нет сосуда в 6 пинт, однако имеются два пустых сосуда объемом 8 пинт и 5 пинт. Как с их помощью отлить ровно 6 пинт вина?

Методы решения задач на переливания метод рассуждений; метод проб и ошибок; табличный; метод блок – схем; метод математического бильярда.

Задача 1. Летом Винни - Пух сделал запас мёда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового Года. Весь мёд находится в ведре, которое вмещает 6 литров. У него есть 2 пустые банки – 5-литровая и 1- литровая. Может ли он разделить мёд так, как задумал?

Этап решения задачи Емкость 6 литр ов 5 литро в 1 литр До переливания е переливание 2-е переливание 3-е переливание 4-е переливание 5-е переливание 6 л 5 л 1 л

Этап решения задачи Емкость 6 литр ов 5 литро в 1 литр До переливания е переливание е переливание 3-е переливание 4-е переливание 5-е переливание 5 01

Этап решения задачи Емкость 6 литр ов 5 литро в 1 литр До переливания е переливание е переливание е переливание 4-е переливание 5-е переливание 11 4

Этап решения задачи Емкость 6 литр ов 5 литро в 1 литр До переливания е переливание е переливание е переливание е переливание 5-е переливание 0 2 4

Этап решения задачи Емкость 6 литр ов 5 литро в 1 литр До переливания е переливание е переливание е переливание е переливание е переливание 1 2 3

Этап решения задачи Ёмкость 6 литр ов 5 литро в 1 литр До переливания е переливание е переливание е переливание е переливание е переливание Вывод: за 5 переливаний Винни – Пух может разделить 6 л мёда пополам, используя ёмкости 5 л и 1 л.

Задача 2. Имеются два сосуда - трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду. Таблица переливаний Шаг 1 Шаг 2 Шаг 3 Шаг 4 Шаг 5 Шаг 6 Шаг 7 3 л 5 л Вывод: за 6 переливаний можно получить 4 л воды, используя сосуды 5 л и 3 л.

Задача Пуассона Один человек имеет в бочонке 12 пинт вина (пинта – старинная французская мера объема, 1 пинта 0,568 л) и хочет подарить половину вина, но у него нет сосуда в 6 пинт, однако имеются два пустых сосуда объемом 8 пинт и 5 пинт. Как с их помощью отлить ровно 6 пинт вина?

Решение Сначала наливаете 8 литров в 8-литровый, потом из 8- литрового наливаете полный 5-литровый, в результате получается, что в 12-литровом - 4 литра, в 8-литровом – 3 литра, а в 5-литровом – 5 литров. Переливаете из 5-литрового в 12-литровый всю воду (или что там за жидкость), а из 8-литрового переливаете все 3 литра в 5-литровый. В результате 9 литров в 12-литровом, 0 литров в 8-литровом, и 3 литра в 5-литровом. Переливаете из 12-литрового 8 литров в пустой 8-литровый, и в 12- литровом остается 1 литр. Из 8-литрового доливаете в 5- литровый, пока 5-литровый не станет полным, (в 5-литровом было 3 литра, следовательно долили мы еще 2 литра из 8- литрового) Тогда в 8-литровом как раз остается 6 литров.

Решение задачи можно записать следующим образом: Этап решения задачи Ёмкость 8 пинт 5 пинт До переливания 00 1-е переливание 2-е переливание 3-е переливание 4-е переливание 5-е переливание 6-е переливание 7-е переливание 8 п 5 п

Решение задачи можно записать следующим образом: Этап решения задачи Ёмкость 8 пинт 5 пинт До переливания 00 1-е переливание 80 2-е переливание 3-е переливание 4-е переливание 5-е переливание 6-е переливание 7-е переливание 8 п 5 п

Решение задачи можно записать следующим образом: Этап решения задачи Ёмкость 8 пинт 5 пинт До переливания 00 1-е переливание 80 2-е переливание 35 3-е переливание 4-е переливание 5-е переливание 6-е переливание 7-е переливание 5 п 3 п

Решение задачи можно записать следующим образом: Этап решения задачи Ёмкость 8 пинт 5 пинт До переливания 00 1-е переливание 80 2-е переливание 35 3-е переливание 30 4-е переливание 5-е переливание 6-е переливание 7-е переливание 5 п 3 п

Решение задачи можно записать следующим образом: Этап решения задачи Ёмкость 8 пинт 5 пинт До переливания 00 1-е переливание 80 2-е переливание 35 3-е переливание 30 4-е переливание 03 5-е переливание 6-е переливание 7-е переливание 8 п 3 п

Решение задачи можно записать следующим образом: Этап решения задачи Ёмкость 8 пинт 5 пинт До переливания 00 1-е переливание 80 2-е переливание 35 3-е переливание 30 4-е переливание 03 5-е переливание 83 6-е переливание 7-е переливание 8 п 3 п

Решение задачи можно записать следующим образом: Этап решения задачи Ёмкость 8 пинт 5 пинт До переливания 00 1-е переливание 80 2-е переливание 35 3-е переливание 30 4-е переливание 03 5-е переливание 83 6-е переливание 65 7-е переливание 5 п 6 п

Решение задачи можно записать следующим образом: Этап решения задачи Ёмкость 8 пинт 5 пинт До переливания 00 1-е переливание 80 2-е переливание 35 3-е переливание 30 4-е переливание 03 5-е переливание 83 6-е переливание 65 7-е переливание 60 5 п 6 п

Подумаем над обобщением этой задачи. Пусть имеются два пустых сосуда объемом a литров и в литров и требуется набрать из реки ровно с литров воды. Если число с не делится на наибольший общий делитель чисел а и в, то это сделать невозможно. Если с делится на наибольший общий делитель чисел а и в, то в таком случае задача всегда имеет решение. В частности, это всегда возможно, если числа а и в взаимно просты.

Задача В бидоне не менее 10 литров молока. Как отлить из него ровно 6 литров с помощью пустых девятилитрового и пятилитрового бидонов.

Решение задачи Обозначим начальное количество молока в первом бидоне через а литров. Число а не меньше 10, поэтому разностью а - 10 пользоваться можно, а разностью а - 11 уже нельзя. Решение записывается так: Бидон объемом а л аа-5 а-10 а-1 а-6 Бидон объемом 9 л Бидон объемом 5 л

Метод математического бильярда

Суть метода заключается в представлении последовательности переливаний аналогично движению бильярдного шарика отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма, на котором нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников. Нарисовав на клетчатой бумаге исходную конфигурацию, необходимо проследить возможные движения шарика в соответствии с законом "угол падения равен углу отражения" и попадание им в требуемые точки по условию задачи. Освоив ее, нетрудно получить решение задачи на переливания (пересыпания) для трех сосудов различного объема.

Карлсону срочно нужно налить 6 л компота. Но он имеет лишь два сосуда: 5-литровый и 7-литровый. Как ему это сделать?

Вывод Нами были рассмотрены методы решения алгебраических задач на переливание с помощью рассуждений, таблиц и математического бильярда. Рассматриваемые методы можно использовать более широко для решения задач на смеси, задач на справедливый дележ имущества, а также на обмен имуществом.

Использованная литература и другие источники 1. Гальперин Г.А., Математические бильярды [текст]/ Земляков А.Н., Гальперин Г.А - М.: Наука, Игнатьев Е.И. В царстве смекалки (в трех книгах). – М.: «Просвещение», Капкаева Л. В. Интеграция алгебраических и геометрических методов в решении задач. 4. Коксетер Г.С.М. и Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, Савина Л.А. Задача о трех кувшинах // Журнал «Квант». – – 5. – С.29 – Задачи на переливания.