СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ С ТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Ч асть ii Расчёт СНС методом сил

Метод сил – метод расчёта статически неопределимых систем, в котором основными неизвестными являются реакции лишних связей ( характерные силовые факторы ). Основная система метода сил – геометрически неизменяемая и, как правило, статически определимая система, получаемая из рассчитываемой СНС путём удаления лишних связей с приложением вместо них реакций этих связей ( основных неизвестных X ). Обозначение основных неизвестных метода сил – X 1, X 2,…, X i,…, X n. ОСМС – расчётная (физическая) модель задачи определения усилий в СНС методом сил. ОСМС = РСНС – ЛС + Х РСНС – рассчитываемая статически неопределимая система; ЛС – лишние связи; Х – основные неизвестные.

Х Л и н е й н ы е Угловы е ИЗОБРАЖЕНИЕ НА СХЕМЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ ОСНОВНЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ Х – реакци й различных удаляемых лишних связей – внешних и внутренних, линейных и угловых У д а л я е м ы е с в я з и в н е ш н и е в н у т р е н н и е Х ХХ Х Х Х Х Х Х Х Х ХХ

Выбор основной системы метода сил Для одной и той же рассчитываемой статически неопределимой системы ( РСНС ) возможно бесчисленное множество вариантов основной системы метода сил ( ОСМС ). n st = 3K – H = = 3 * 2 – 3 = 3 X1X1 X2X2 X3X3 X1X1 X2X2 X3X3 X2X2 X3X3 X1X1 X2X2 X3X3 X1X1 X2X2 X3X3 ГИС ! Рекомендации по рациональному выбору основной системы МС: 2. Нежелательно удалять линейные связи, особенно внешние. Предпочтительнее удаление угловых связей ( введение цилиндрических шарниров ). 1. Основная система должна по возможности минимально отличаться по общему характеру своей работы от рассчитываемой СНС. 3. Для упрощения расчёта лучше выбирать основную систему с максимально простой структурой ( если возможно, то с главными и второстепенными частями ). 4. Связи целесообразно удалять в узлах системы ( включая опорные ). 5. Если рассчитываемая СНС симметричная, то выгодно выбирать симметричную основную систему. Рациональный вариант

Канонические уравнения метода сил 0 < X 1 < 2ql – уравнения, предназначенные для определения основных неизвестных Х Условие эквивалентности ОСМС и РСНС – кинематическое : равенство перемещений в ОСМС и РСНС по направлениям связей, реакции которых приняты за основные неизвестные ( иначе – по направлениям основных неизвестных X 1, X 2,…, X i,…, X n ): Р С Н СР С Н С V A = (3/8) ql q A B V C = (3/8) ql V B = (5/4) ql l l С ql 2 /8 О С М С q A B 1F С B 1X М РСНС М ОСМС X 1 = 2ql X1= 0X1= 0 Если X 1 = V B, то НДС ОСМС = НДС РСНС ( при истинном значении основного неизвестного основная система эквивалентна рассчитываемой СНС при одинаковых заданных воздействиях ).

Канонические уравнения метода сил Кинематическое условие эквивалентности ОСМС и РСНС : Перемещение в основной системе Перемещение в рассчитываемой СНС по направлению i -го основного неизвестного ( X i ) от заданных воздействий и одновременно ( в ОСМС ) от реакций всех удалённых лишних связей. Если удалённая i-я связь – недеформируемая (жёсткая), Полное перемещение в основной системе по направлению i -го основного неизвестного ( X i ) от заданных воздействий и реакций X 1,…, X n всех удалённых лишних связей. Примечание: при наличии упругих связей они не удаляются, а сохраняются как упругие элементы ОСМС: c По принципу суперпозиции: i = iX + i От всех Х От заданных воздействий c c XiXi

Канонические уравнения метода сил Кинематическое условие эквивалентности ОСМС и РСНС : По принципу независимости воздействий: ХkХk i = iF + it + ic. Хk =?Хk =?Хk = 1Хk = 1 ik XiXi XkXk ik – перемещение в ОСМС по направлению X i от X k = 1 Xk = 1Xk = 1 От X 1, …, X k, …, X n одновременно 0 Н а п р а в л е н и е X i k i – перемещение в ОСМС по направлению X i от заданных воздействий Н а п р а в л е н и е X i t (j) Канонические уравнения метода сил =? =?

Канонические уравнения метода сил Система канонических уравнений метода сил ( КУМС ) в целом выражает условия кинематической эквивалентности рассчитываемой СНС и основной системы МС при заданных воздействиях и истинных основных неизвестных Х. 3. Свободный член i i- го КУМС – перемещение в ОСМС по направлению i -го основного неизвестного ( X i ) или, что то же самое, по направлению i -й удалённой лишней связи от заданных воздействий ( силовых, температурных, кинематических ). 4. Слагаемое ik X k i - го канонического уравнения – перемещение в ОСМС по направлению i -го основного неизвестного X i ( по направлению i -й удалённой лишней связи ) от основ- ного неизвестного X k ( реакции k -й удалённой лишней связи ). 5. Коэффициент ik при неизвестном X k в i - м каноническом уравнении – перемещение в ОСМС по направлению i -го основного неизвестного X i ( по направлению i -й удалённой лишней связи ) от единичного k -го основного неизвестного ( X k = 1 ). 2. i - е каноническое уравнение отрицает полное ( совместное от заданных воздействий и всех основных неизвестных Х ) перемещение в ОСМС по направлению i -го основного неизвестного ( X i ) или, что то же самое, по направлению i -й удалённой лишней связи.

Канонические уравнения метода сил – матрица внешней упругой податливости ОСМС по направлениям основных неизвестных X ( квадратная размерами n * n ) В матричной форме: в е к т о р о с н о в н ы х н е и з в е с т н ы х X – в ектор перемещений в ОСМС по направлениям основных неизвестных X от заданных воздействий

Канонические уравнения метода сил ik ( i, k = 1, …, n ) – е диничные перемещения в ОСМС ( перемещения от единичных силовых воздействий ); Смысл, способы определения и свойства коэффициентов и свободных членов КУМС ii ( i = 1, …, n ) – собственные единичные перемещения ( главные коэффициенты КУМС ); ik ( i, k = 1, …, n; i = k ) – п обочные единичные перемещения в ОСМС. X1X1 XiXi XkXk XnXn Xk= 1Xk= 1 О С М СО С М С Н а п р а в л е н и е X i Направление X n 1k ik kk nk От X k = 1 k

Канонические уравнения метода сил ik ( i, k = 1, …, n ) – единичные перемещения в ОСМС ( перемещения от единичных силовых воздействий ); ii ( i = 1, …, n ) – собственные единичные перемещения ( главные коэффициенты КУМС ); ik ( i, k = 1, …, n; i = k ) – побочные единичные перемещения в ОСМС. X1X1 XiXi XkXk XnXn О С М СО С М С Направление X n i От X k = 1 k 1 Н а п р а в л е н и е X k n F (j) Н а п р а в л е н и е X i i ( i = 1, …,n ) – перемещения в ОСМС от заданных воздействий t От F, t, c Смысл, способы определения и свойства коэффициентов и свободных членов КУМС

Канонические уравнения метода сил ik ( i, k = 1, …, n ) – перемещения в ОСМС от единичных силовых воздействий От X k = 1 i ( i = 1, …, n ) – перемещения в ОСМС от заданных произвольных воздействий От F, t, c Смысл, способы определения и свойства коэффициентов и свободных членов КУМС по формуле Максвелла-Мора: по формуле Максвелла-Мора: Возможно: по методу начальных параметров ( для балок и т.п. СНС ) и др. способами.

Канонические уравнения метода сил 1. ii > 0 ( i = 1, …, n ) – главные коэффициенты ( собственные единичные перемещения в ОСМС ) – существенно положительные. Смысл, способы определения и свойства коэффициентов и свободных членов КУМС Свойства коэффициентов КУМС: 2. П обочные коэффициенты ( побочные единичные перемещения в ОСМС ) попарно равны ( по теореме Максвелла ): ik = ki ( i = 1, …, n ; i = k ) и могут быть положительными, отрицательными и равными 0 ; следствие : матрица внешней податливости симмет- рична относительно главной диагонали. 3. Матрица коэффициентов – положительно определённая: Det ( ) > 0; Проверки коэффициентов КУМС: а) универсальная ( проверка всех коэффициентов ): (?) б) построчная ( проверка коэффициентов i -го КУ ): S s, R j,s – с уммарные единичные с иловые факторы ( внутренние усилия и реакции упругих связей в суммарном единичном состоянии ОСМС – от одновременно действующих X 1 = 1, …, X k = 1, …, X n = 1 ).

Канонические уравнения метода сил Смысл, способы определения и свойства коэффициентов и свободных членов КУМС Свойство свободных членов КУМС: Перемещения i в ОСМС от заданных воздействий могут быть положительными, отрицательными и равными 0 ; все свободные члены не должны быть одновременно нулевыми. Проверка свободных членов КУМС: (?)

Канонические уравнения метода сил Определение основных неизвестных и искомых усилий в рассчитываемой СНС. Проверка результатов расчёта. Решение КУМС: Силовые факторы в РСНС В а р и а н т 1 (j) t XkXk XnXn О С М СО С М С X1X1 XiXi F Расчёт основной системы на заданные воздействия и найденные основные неизвестные Х В а р и а н т 2 Использование ранее уже определённых усилий в единичных состояниях ОСМС и от заданных воздействий В а р и а н т 3 Для систем с преобладающим изгибом ( рам, балок и др. ) от X k = 1 N из условий рав- новесия узлов П р и м е ч а н и е В случае использования статически определимой основной системы ( n = n st ) усилия в ней от температурных и кинематических воздействий не возникают, тогда в вариантах 2 и 3 вместо S и M используются S F и M F.

Канонические уравнения метода сил Проверка результатов расчёта СНС методом сил (?) Статическая проверка Проверка равновесия системы в целом узлов отсечённых частей Кинематическая ( деформационная ) проверка Сущность: контроль выполнения исходного условия кинематической эквивалентности РСНС и ОСМС ( поэтому кинематическая проверка – главная в методе сил ). П р и н а й д е н н ы х у с и л и я х S Универсальная проверка: Частные проверки: (?) Сокращённый вариант кинематической проверки Универсальная проверка: Частные проверки: (?)

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы ( в скобках даны номера слайдов, в которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках *) ; для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 16» ) 1. Что принимается за основные неизвестные в методе сил? ( 2 )( 2 ) 2. Что такое основная система метода сил (ОСМС)? Является ли обязательным требо- вание геометрической неизменяемости ОСМС? А статической определимости? ( 2 )( 2 ) 3. Какую роль играет основная система в расчёте СНС методом сил? ( 2 )( 2 ) 4. Сколько различных вариантов ОСМС может быть предложено для расчёта некоторой заданной СНС? ( 3 )( 3 ) 5. Рекомендации по выбору рационального варианта ОСМС, их смысл и эффект от их реализации ( 3 ).( 3 ) 6. Каковы особенности ОСМС при удалении лишних связей: – в местах расположения упругих опор? ( 5 )( 5 ) – в местах, где заданы кинематические воздействия (смещения связей)? 7. Какие условия (требования) положены в основу вывода уравнений метода сил? ( 4 )( 4 ) 8. Каковы по изначальному смыслу канонические уравнения метода сил (КУМС) – статические, кинематические или физические? ( 4 )( 4 ) 9. Варианты записи канонических уравнений метода сил: а) в обычной форме – компактное и развёрнутое представления ( 7 ) ;( 7 ) б) в матричной форме – поэлементная и укрупнённая записи ( 8 ).( 8 ) 10. Раскрыть смысл: а) системы КУМС в целом ( 7 ) ;( 7 ) б) произвольного (i-го) канонического уравнения ( 7 ) ;( 7 ) в) левой части i-го канонического уравнения ( 7 ) ;( 7 ) г) свободного члена i-го канонического уравнения i ( iF, it, ic ) ( 7 ), ( 10 ) ;( 7 ),( 10 ) д) слагаемого ik X k ( 7 ) ;( 7 ) е) коэффициента ik ( 7 ), ( 9 ).( 7 ),( 9 ) 11. Как называется и какой смысл имеет матрица коэффициентов КУМС? ( 8 )( 8 ) *) Только в режиме «Показ слайдов».

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы ( в скобках даны номера слайдов, в которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках *) ; для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 17» ) 12. Как называются и какой смысл имеют коэффициенты ii ? Коэффициенты ik ? ( 9 )( 9 ) Обозначить на схеме ОСМС и истолковать смысл ik (i и k – по заданию) и/или iF. 13. Свойства компонентов матрицы. Теорема о взаимности единичных перемещений в ЛДС (теорема Максвелла). ( 12 )( 12 ) 14. Какой должна быть сумма компонентов матрицы положительной, отрицательной, равной 0, любой? ( 12 )( 12 ) 15. Способы определения коэффициентов и свободных членов КУМС ( 11 ).( 11 ) 16. Формулы для вычисления ik, i, iF, it, ic в общем случае ( 12 ).( 12 ) 17. Как выполняются универсальная и построчная проверки коэффициентов КУМС? ( 12 )( 12 ) 18. Свойства свободных членов канонических уравнений. Как проверяется правильность вычисления свободных членов КУМС при разных видах воздействий (силовом, температурном, кинематическом)? ( 13 )( 13 ) 19. Почему канонические уравнения метода сил являются разрешающими уравнениями задачи расчёта СНС (синтезом статической, геометрической и физической сторон задачи)? – см. лекцию «Смешанный метод расчёта СНС» 20. Как после вычисления основных неизвестных Х (решения КУМС) определяются искомые силовые факторы в заданной СНС (3 варианта)? ( 14 )( 14 ) 21. Особенности вычисления искомых силовых факторов при температурных воздействиях и смещениях связей в случае использования статически определимой основной системы МС ( 14 ).( 14 ) 22. Полная проверка результатов расчета СНС методом сил, ее составные части. ( 15 )( 15 ) 23. Какая из частей полной проверки результатов расчета – статическая или кинемати- ческая – является главной и почему? ( 15 )( 15 ) 24. Содержание и приемы статической проверки ( 15 ). Могут ли выполняться условия( 15 ) равновесия при наличии ошибок (каких?) в решении задачи? 25. Сущность и техника выполнения кинематической (деформационной) проверки результатов расчета СНС методом сил ( 15 ).( 15 ) *) Только в режиме «Показ слайдов».