МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА Тема : Совершенные нормальные формы логических функций. Минимизация логических функций. Построение логических устройств по дисциплине

План урока Организационный момент Вводное слово Систематизация и актуализация теоретических знаний: фронтальный опрос Теоретическая часть: мультимедийная лекция «Совершенные нормальные формы логических функций. Минимизация логических функций. Построение логических устройств» Практикум решения задач: работа студентов под руководством преподавателя Индивидуальная работа студентов по контрольным картам Рефлексия Заключение Задание на дом

Систематизация и актуализация теоретических знаний (студенты отвечают устно на вопросы) На последнем занятии мы познакомились с логическими операциями и научились записывать сложные логические высказывания виде формул. 1. С какими логическими операциями мы познакомились? 2. Привести пример образования логического отрицания. 3. Смысл инверсии 4. Какая логическая операция ставит в соответствие двум простым высказыванием составное, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба простых высказывания ложны? 5. Какой логической операции соответствует следующая таблица истинности? А В А ? В

Систематизация и актуализация теоретических знаний логические задачи 1. Составьте формулу соответствующую сложному высказыванию: На следующей неделе я начну учить вычислительную технику или импульсную технику, а мой друг будет изучать радиоприемные устройства и английский язык 2. Сложное высказывание составлено из трех простых высказываний: А = «Завтра будет занятие во вычислительной технике» В = «Я начну заниматься импульсной техникой» С= «Я начну изучать электротехнику» И описано следующей формулой: А => (В + С). Составьте логическое высказывание по данному выражению

Логические задачи 3. Даны простые высказывания: А – Я с детства плохо учился. В – Я очень мало читал. С – Я очень долго искал работу. D – Мне работа давалась легко. Форма сложного высказывания: (А*В) (С*D) Запишите фразу на естественном языке 4. Составьте формулу соответствующую сложному высказыванию: Если студент болен, он должен ходить на занятия.

Логические задачи 5. Определите формулу сложного высказывания, записав их на языке алгебры логики: Билл Гейтс – основатель корпорации Microsoft, талантливый менеджер и самый богатый человек.

Формы логических функций Логическую функцию для удобства записи и последующего синтеза выражают в виде суммы произведений переменных либо в виде произведений их сумм. Запись логической функции в виде суммы произведений переменных называют дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ): X1+X2X3+X1X2X3+X1X2X3, а запись функции в виде произведения сумм – конъюнктивной нормальной формой (КНФ): X1(X1+X2)(X2+X3)X1+X2+X3)

Формы логических функций Вместе с тем имеется только один вид ДНФ и КНФ, в котором функция может быть записана единственным образом (совершенные нормальные формы). В совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) каждое входящее слагаемое включает все переменные (с инверсиями и без них) и нет одинаковых слагаемых: F=X1X2X3+X1X2X3+X1X2X3+X1X2X3 В совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ) каждый входящий сомножитель включает все переменные (с инверсиями и без них) и нет одинаковых сомножителей.

Формы логических функций Логическая функция наиболее наглядно и полно представляется таблицей истинности, в которой для каждой комбинации значений переменных указывается значение функции. Затем от табличного представления функций переходят к аналитической записи ее в СДНФ или СКНФ.

ПРИМЕР 1 Для комбинаций переменных 4, 6,7, 8 функция F=1, что означает для указанных комбинаций равенство единице следующих произведений: X1X2X3=1, X1X2X3=1, X1X2X3=1 Комбинации переменных, при которых F=1 называют конституантами единицы или минтермами. Представленные логические функции в виде минтермов определяется ее СДНФ, т.е. в данном случае F=X1X2X3+X1X2X3+X1X2X3+X1X2X комбинации Х1Х2 Х3 F

Совершенная конъюнктивная нормальная форма Функция, определяемая таблицей истинности, может быть представлена не в только ее единичным, но и нулевым значением. Так на основании таблицы : F=(X1+X2+X3)(X1+X2+X3)(X1+X2+X3)(X1+X2+X3) Каждый сомножитель в этом выражении состоит из суммы переменных, для которых функция обращается в нуль в соответствии с таблицей истинности. Такие суммы называют конституантами нуля или макстермами. Таким образом, произведение макстермов определяет СКНФ функции.

Логическое устройство – цепочка из логических элементов, в которой выходы одних элементов являются входами других. Функциональная схема – это схема соединения логических элементов, реализующая логическую функцию. Формой описания функции, реализуемой логическим устройством, является структурная формула.

Система логических элементов Система элементов, позволяющая строить на их базе логическую схему любой сложности, называется функциональной полной системой элементов или базисом. Базис образует логические элементы ИЛИ, И и НЕ. Кроме того на практике широко применяются логические элементы, выполняющие не элементарные операции ИЛИ, И, НЕ, а реализующие простейшие функции двух аргументов ИЛИ-НЕ (стрелка Пирса X1 X2), И-НЕ (штрих Шеффера X1/X2) и др.

Система логических элементов 1 X F=X Элемент НЕ (инверсия) Таблица истинности ХF=X

Система логических элементов Элемент И (конъюнкция) X1X1 X2 F=X1&X2=X1*X2 & Таблица истинности X1X2F=X1X

Система логических элементов Элемент ИЛИ (дизъюнкция) Х1 Х2 F=Х1+X2 1 Таблица истинности Х1Х2F=X1+X

Система логических элементов Элемент И-НЕ (базис Шеффера) X1X1 X2 F=X1&X2=X1*X2 & Таблица истинности X1X2F=X1X

Система логических элементов Элемент ИЛИ-НЕ (базис Пирса) Х1 Х2 F=Х1+X2 1 Таблица истинности Х1Х2F=X1+X

Определите структурную формулу по заданной функциональной схеме. 1 1 X Y F(X,Y) F(X,Y) = X \/ Y 1

Дана структурная формула. Постройте соответствующую ей функциональную схему. & X Y F(X,Y) = X & Y 1

Определите структурную формулу по заданной функциональной схеме. F(X,Y) Y F(X,Y) = X & Y X&1

1 Х F(X,Y) = (X \/ Y) & X Y Дана структурная формула. & (1) (2)(3) (4) XY Выход 1Выход 2Выход 3Выход Постройте соответствующую ей функциональную схему. 111

X4x3x4x3x2x1 Y Пример составления СДНФ логической функции Пусть логическая функция заданна таблицей истинности. Из нее легко составляется СДНФ функции (при F=1): F=X4X3X2X1+X4X3X2X1+X4X3X2X1+ +X4X3X2X1+X4X3X2X1+X4X3X2X1+ +X4X3X2X1

МИНИМИЗАЦИЯ Используя законы алгебры логики, минимизируем полученное выражение. Объединим некоторые минтермы между собой и используем законы тождества. F=X4X3X2(X1+X1)+X4X3X2(X1+X1)+X4X3X2(X1+X1)+X4X3X2(X1++X1) +X4X3X2(X1+X1)=X4X3(X2+X2)+X4X3(X2+X2)+X4X3X2= X4X3+X4X3X2=X4(X3+X3X2)+X4X3=X4[(X3+X3)(X3+X2)]+ +X4X3=X4X3+X4X2+X4X3 В результате функция представляется в виде:F=X4X3+X4X2+X4X3 Полученная форма функции проще первоначальной. Интересно отметить, что она не содержит переменной X1.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕФУНКЦИИ В ЗАДАННЫЙ БАЗИС Для реализации этой функции в базе И-НЕ проинвертируем левую и правую часть функции, используя закон отрицания. Тогда получим: F=X4X3+X4X2+X4X3=X4X3X4X2X4X3 Чтобы функция не изменилась, инвертируем ее второй раз: F=X4X3X4X2X4X3 Изобразим схему цифрового устройства на элементах И-НЕ.

Цифровое устройство на элементах И-НЕ & & & & & & & X2 X3 X4 X2 X3 X4 X3X4 X4X2 X3X4 F=X4X3X4X2X4X3

x1 х 2 х 3 х 3F1F2F3F4F Практикум по решению задач - запишите функции F1…F5 заданные таблицами истинности в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) и в совершенной конъюнктивной нормальной форме (CКНФ); - минимизируйте любые по выбору функции, записанные в СДНФ и СКНФ: - преобразуйте одну из минимизированных функций в базис И-НЕ. - приведите функциональную схему преобразованной функции на элементах И-НЕ

Индивидуальная работа студентов по листам контроля Система оценивания знаний: рейтинговая. Оценка «5» выставляется, если студент набирает суммарно балла; оценка «4» 12 – 18 баллов; оценка «3» 8 –10 баллов; оценка «2» менее 8 баллов.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Контрольное задание Произвести аналитическую запись логической функции в СДНФ и СКНФ; Минимизировать логическую функцию и составить функциональную схему для реализации минимизированной функции

Задание: 1. По заданной таблице истинности записать алгебраическое выражение для логической функции F= f(X1,X2,X3,X4) четырех входных переменных в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (по «0») или в совершенной конъюнктивной нормальной форме (по «1») 2. Минимизировать полученное выражение. 3. Получить функцию в заданном базисе логических элементов. 4. Начертить схему цифрового устройства, реализующего полученную функцию X4x3x4x3 x2x Нечетные варианты реализуют логическую функцию в базисе И-НЕ и записывают СДНФ, четные – в базисе ИЛИ-НЕ и записываются в СКНФ