Дополнительные главы математической физики Представление дисциплины

2 Общие сведения по дисциплине Дополнительные математической физики Читается для специальности Математическое обеспечение и администрирование информационных систем Важность изучения дисциплины Методы математической физики лежат в основе математических моделей реальных явлений, используются в моделировании физических, химических, биологических, экономических и социальных процессов, а также в инженерно- технических приложениях. Сфера профессионального использования Дисциплина предназначена для студентов, аспирантов, преподавателей вузов, научных сотрудников, инженеров, программистов и других специалистов, использующих в своей деятельности уравнения математической физики и математические модели на их основе.

3 Краткое описание дисциплины Курс посвящен изучению теории функций комплексной переменной, операционному и вариационному исчислению. Основное внимание уделено применению методов теории функций комплексной переменной для решения краевых задач математической физики, операционному методу решения обыкновенных дифференциальных уравнений дифференциальных уравнений с частными производными, и интегральных уравнений математической физики. Учебно- практическое пособие по данному курсу составлено в соответствии с требованиями по обязательному минимуму содержания и уровню подготовки специалиста с высшим образованием Государственным образовательным стандартам высшего профессионального образования по специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», а также в соответствии с учебными программами.

4 Цели и задачи преподавания дисциплины Основной целью дисциплины является формирование у студентов фундаментальных основ функций комплексной переменной, операционного и вариационного исчисления в объёме, достаточном для применения в специальных дисциплинах, читаемых студентам университета, а также подготовка студентов к самостоятельному овладению математическими знаниями, в частности, задач математической физики, по мере потребности в них. Основными задачами дисциплины являются освоение математического аппарата функций комплексной переменной, операционного и вариационного исчисления, необходимого для решения теоретических и практических задач применения дисциплины, а также развитие логического мышления, позволяющего математически формулировать решаемые задачи и решать их, подъем общего уровня математической культуры, привитие студентам навыков самостоятельно изучать учебную и специальную литературы по математике и использовать ее.

5 Место дисциплины среди смежных дисциплин Данная дисциплина требует предварительного изучения курсов математического анализа, линейной алгебры, но в первую очередь – обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений математической физики. В то же время дисциплина является одной из базовых дисциплин для дисциплины «Компьютерное моделирование» Кроме того, «Дополнительные главы математической физики» являются необходимым предметом в образовании будущих бакалавров по направлению «Математика. Компьютерные науки».

6 Начальные знания Для успешного освоения курса требуется знания основных понятий: 1) математического анализа, связанные с производными, интегралами, правилами дифференцирования и методами интегрирования, 2) линейной алгебры, связанные с методами решения систем линейных алгебраических уравнений, 3) теории обыкновенных дифференциальных уравнений, связанные с их классификацией и постановками задач Коши и краевых задач, 4) теории дифференциальных уравнений с частными производными математической физики, связанные с их классификацией и постановками начально-краевых задач, 5) теории интегральных уравнений математической физики, 6) основные законы классической механики из курса общей физики.

7 Итоговые знания, умения и навыки В результате изучения дисциплины студенты должны иметь ПРЕДСТАВЛЕНИЯ: о значение основных теорем теории функции комплексной переменной, теорем операционного исчисления и о их применении для решения задач математической физики, представлять специфику задач решаемых с помощью операционного метода задач В результате изучения дисциплины студенты должны получить ЗНАНИЯ: по теории функции комплексной переменной, операционному и вариационному исчислению и быть способным перевести конкретную прикладную задачу на язык дифференциальных уравнений с частными производными или интегральных уравнений математической физики, сформулировать постановку вариационной задачи и определить пути ее решения. В результате изучения дисциплины студенты должны приобрести УМЕНИЯ И НАВЫКИ: находить решения операционным методом : обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, линейные интегральных уравнений с разностным ядром, а также решать простейшие вариационные задачи, уметь доказывать изучаемые теоремы.

8 Содержание лекционного курса Глава 1. Операционный метод решения задач математической физики. Глава 2. Вариационные методы в математической физике.

9 Глава 1. Теория функций комплексной переменной является важным разделом математики, Часть этой теории, относящаяся к методу конформного отображения, возникла из физических соображений. Частью теории функций комплексной переменной является также операционное исчисление, как вид интегрального преобразования (преобразования Лапласа) и его применения. Методы теории функций комплексной переменной применяются для решения физических и инженерных задач гидро- и аэродинамики, электротехнике. Операционное исчисление появилось в начале XX века как формальный метод интегрирования обыкновенных дифференциальных линейных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем. К таким уравнениям сводятся многие практические задачи электротехники, радиотехники, теории автоматического регулировании и автоматизации управления. Дальнейшее применение операционного исчисление нашлось при интегрировании краевых и начальных задач математической физики, а также особого рода интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Техника операционного исчисления базируется на таблице стандартных оригиналов и изображений, а также на ряде правил преобразования выражений при переходе от оригиналов к изображениям и обратно. В первой главе изучена теория функций комплексной переменной и ее применение в математической физике, а также основы теории преобразования Лапласа (операционное исчисление) и применение операционного метода для решения задач математической физики. В частности, подробно разобрано применение метода конформного отображения для решения краевых задач для гармонических функций в двумерных областях. Рассмотрено применение операционного метода для решения линейных дифференциальных уравнений и их систем, в том числе с использованием интегралов Дюамеля. Приведена классификация интегральных уравнений Вольтерра и операционный метод решения интегральных уравнений Вольтерра с разностным ядром 1-ого и 2-ого рода. Основное внимание уделено операционному методу решения начально-краевых задач математической физики.

10 Глава 2. Вариационное исчисление – это раздел математики, в котором изучаются методы, позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов. Задачи, в которых требуется исследовать функционал на наличие максимумов и минимумов, называются вариационными задачами. Многие законы естествознания, и физики, в частности, сводятся к тому, что некоторый функционал в рассматриваемом процессе должен достигать минимума или максимума. В такой постановке эти законы называют вариационными принципами. К числу таких вариационных принципов и следствий из них относятся принцип наименьшего действия Гамильтона, законы сохранения энергии, импульса и др. Вариационное исчисление начало развиваться в XVII веке и оформилось в самостоятельный раздел после фундаментальных исследований Л.Эйлера. Во второй главе изучены основные понятия вариационного исчисления, такие как функционалы, их вариации, экстремумы, постановки вариационных задач. Рассмотрены необходимое условие существования локального экстремума функционала, получены уравнения Эйлера-Лагранжа и Эйлера-Остроградского. Сформулированы достаточные условия существования локального экстремума функционала. Показано, что вариационная задача на экстремум интеграла энергии приводит к внутренней задаче Дирихле для уравнения Лапласа. Рассмотрено применение принципа наименьшего действия Гамильтона для получения уравнения колебаний струны.

11 Лабораторный практикум не предусмотрен

12 Контрольные мероприятия Предварительный контроль Самостоятельные работы Текущий контроль Контрольные работы Итоговый контроль Зачет

13 Глоссарий Вариационная задача - это поиск экстремума функционала в заданном классе функций. Дифференциальное уравнение с частными производными (УсЧП) - это соотношение, связывающее неизвестную функцию нескольких переменных, ее частные производные и независимые переменные Задача Коши - это задача поиска решения уравнения математической физики, удовлетворяющего начальным условиям Краевая задача - это задача поиска решения УсЧП, удовлетворяющего краевым условиям. Краевые или граничные условия - это заданные значения искомой функции и ее нормальное производной на границе области поиска решения. Локальные экстремумы - это локальные максимумы и минимумы функционала. Начальные условия - это заданные значения искомой функции и ее частных производных по времени в начальный момент времени. Порядок УсЧП - это порядок старшей частной производной, входящей в это уравнение. Функционал - это правило, согласно которому каждой функции y(x) из определенного класса ставится в соответствие действительное число. Экстремали - это кривые, соответствующие общему решению уравнения Эйлера-Лагранжа.

14 Список литературы Основная Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, с. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексной переменной. Спб: Лань, с. Волков И.К., Канаьников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М..: МГТУ им. Н.Э. Баумана, с. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Эдиториал, с. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматлит, с. Дополнительная Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, с. Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики. М.Ижевск: Институт компьютерных исследований, с. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, с. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, с. Карташев Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высш. шк., с. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. В 2-х т. Пер. с англ. М.: ИЛ. т с. т с. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики В 2-х т. Пер. с англ. М.: ИЛ. т с. т с. Уроев В.М. Уравнения математической физики. М.: ИФ Яуза с. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, с. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука с.

15 Самостоятельная работа Список вопросов для самоподготовки к зачету 1. Понятие ФКП, предел, непрерывность. 2. Дифференцируемость ФКП. Аналитические функции. Условия Коши-Римана. 3. Контурный интеграл и его свойства. 4. Теорема Коши. 5. Следствия из теоремы Коши. 6. Интегральная формула Коши и производная аналитической функции. 7. Ряды аналитических функций. 8. Особые точки их классификация. 9. Вычеты. 10. Основная теорема о вычетах и ее применение. 11. Основные понятия операционного исчисления. Условия существования изображения и оригинала по Лапласу. 12. Свойства преобразования Лапласа: линейность, подобия, преобразование производных, интеграла, дифференцирование изображения. 13. Основные теоремы операционного исчисления: запаздывания, смещения, о свертке, разложения. 14. Формулы Дюамеля. 15. Преобразование Лапласа основных элементарных функций. Таблица изображений. 16. Решение линейных ДУ с пост. коэф. операционным методом. 17. Операционный метод решения интегральных уравнений Вольтерра с разностным ядром. 18. Решение начально-краевой задачи для уравнения диффузии операционным методом. 19. Основные леммы вариационного исчисления. 20. Приращение и вариация функционала. 21. Локальный экстремум функционала и необходимое условие его существования. 22. Постановка простейшей вариационной задачи. Уравнение Эйлера-Лагранжа. 23. Три вида неполных ур. Эйлера-Лагранжа. 24. Функционалы, зависящие от нескольких функций и система уравнений Эйлера-Лагранжа. 25. Функционал функции 2-х переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского. 26. Принцип наименьшего действия Гамильтона в классической механике. Кинетическая и потенциальная энергии. Функция Лагранжа в механике. 27. Закон сохранения энергии в классической механике. Однородная функция. Лемма об однородность квадратичной формы. Тождество Эйлера. 28. Функции и уравнения Гамильтона в классической механике. 29. Интеграл энергии, уравнение Лапласа и задача Дирихле. 30. Вариационная задача о колебании струны и волновое уравнение.