Работу выполнила ученица 11 класса МОУ «Средняя общеобразовательная школа с.Симоновка Калининского района Саратовской области» Зайцева Юлия Валерьевна Руководитель: учитель математики Карякина Людмила Павловна

Цель работы: Изучить новые свойства квадратичной функции, разобраться в них. Изучить новые свойства квадратичной функции, разобраться в них. Привести примеры их использования Привести примеры их использования

Рассматриваем параболу… Оказывается, это позволит нам получить массу информации. Очень многое мы уже знаем из курса алгебры 8 и 9 класса. А что нового мы можем узнать о параболе и свойствах квадратичной функции?

Есть одно любопытное свойство параболы, которого вы, может быть, не знаете, хотя часто им пользуетесь. Пусть парабола начнёт вращаться вокруг оси ординат. Получится что-то вроде чаши, только, чтобы она не была бесконечной, отрежем часть её плоскостью, перпендикулярной оси ординат. Образуется фигура, которая называется параболоидом.

А если сделать внутреннюю поверхность параболоида зеркальной и направить поток света по направлению оси ординат, то все лучи света соберутся в одной точке, которую, как вы, наверное, уже догадались, называют фокусом. Если в фокусе поставить источник света, например электрическую лампочку, то получится самая обыкновенная фара, или прожектор, или часть карманного фонарика. А если сделать внутреннюю поверхность параболоида зеркальной и направить поток света по направлению оси ординат, то все лучи света соберутся в одной точке, которую, как вы, наверное, уже догадались, называют фокусом. Если в фокусе поставить источник света, например электрическую лампочку, то получится самая обыкновенная фара, или прожектор, или часть карманного фонарика.

Хотите увидеть параболоид вращения? Налейте в стакан воды и размешайте ее ложечкой. Когда на ложечку вынете, поверхность воды примет форму параболоида вращения.

Теперь серьезнее, пусть это будет наше маленькое математическое исследование, будем изучать новые свойства квадратичной функции. Рассмотрим расположение корней квадратного уравнения. Попробуем ответить на такие вопросы:

При каких значениях параметра а оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M)? При каких значениях параметра а оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M)?

Возможны два случая: xx y xx y а>0 a

Случай а>0 Подумайте, что можно сказать о дискриминанте D>0, т.к. парабола в двух точках пересекает ось х

Случай а>0 Подумайте, что можно сказать о f(M)? Очевидно,f(M)>0

Случай а>0 М х х

Итак, получили систему Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М( т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка М), необходимо и достаточно выполнение следующих условий

Случай a0 т.к., парабола имеет две точки пересечения с осью X

Подумайте, что можно сказать о f(M): Очевидно, что f(М)

Сравните М и абсциссу вершины параболы Сравните М и абсциссу вершины параболы. М > М

Итак, получим

Сравниваем две полученные системы и составляем универсальную систему для обоих случаев. В результате получили теорему: оба корня квадратного уравнения меньше заданного числа М, если ( и только если) имеет место система

Теперь ответим на такой вопрос При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения больше некоторого числа М?

Если мы будем рассуждать аналогично, то получим: М а>0 а

Оба корня квадратного уравнения ах 2 +вх +с =0 больше заданного числа М если имеет место эта система

При каких значениях параметра а заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения? М х 1 х 1 х 2 х 2 М х 2 х 2 х 1 х 1

Заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения ах 2 +вх+с=0 если имеет место эта система. Попробуйте доказать это самостоятельно. У меня получилось, думаю, и у вас по получится.

Подумайте: Почему требование D>0 вовсе необязательно в этой теореме? Догадались? Потому, что сам вопрос предполагает наличие корней, причем – двух. Иначе: между… чем?

И в заключении (только не торопитесь, еще не все) Эти свойства не изучаются на уроках алгебры, так как они довольно трудные. Признаюсь, что мне тоже было сложно в этом разобраться. Я рада, что у меня это получилось, думаю, что и вам будет интересно в этом разобраться! примеры Если устали, отдохните!

Но это еще не все Вот примеры задач, где эти свойства используются. 1. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения лежат по разные стороны от числа 2? Пример 1

Решение. Рассмотрим функцию f(2)

Пример 2 Найти все значения параметра а, у которых оба корня квадратного уравнения меньше -1

Решение. Рассмотрим функцию Решаем первое неравенство системы: Ответ:

Используемые ресурсы Л.Ф. Пичурин « За страницами учебника алгебры» Математика 9-11 классы. Проектная деятельность учащихся. Автор- составитель М.В. Величко html и все-таки – отдохни!