Лекция 15 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (продолжение)

5. Перенос нагрузки в узлы В расчетной модели по МКЭ нагрузка должна быть приложена в узлах. Поэтому внеузловую нагрузку следует переносить в узлы. Порядок переноса нагрузки в простых случаях остается таким же как и ранее. Например, в стержневых системах используется таблица метода перемещений. В общем случае вектор узловой нагрузки определяется по формуле: Если к прямоугольному КЭ действует линейно-распределенная нагрузка, то узловые силы определяются так: При переносе объемной нагрузки (собственного веса) четырехугольного КЭ, в каждый узел прикладывается четвертая часть его веса G. В треугольном КЭ в узлы прикладывается его третья часть.

6. Переход к общей системе координат Каждый КЭ в МКЭ вначале рассматривается в местной системе координат. Затем осуществляется переход к глобальной (общей) системе координат. Пусть некоторый узел i в местной системе координат имеет перемещения,,, которые следует преобразовать в переме- щения узла,, в общей системе координат x-y. Поворот координатных осей осуществляется с помощью матрицы преобразования координат (матрицы направляющих косинусов). Для плоской ортогональной системы координат она имеет вид:

Эти матрицы позволяют преобразовать матрицы и вектора геометрических и жесткостных характеристик КЭ в местной системе координат в их характеристики в общей системе координат. Например, вектор координат прямоугольного КЭ с четырьмя шарнирными узлами i-j-k-m в местной системе координат в общую систему координат x-y преобразует матрица Для шарнирного узла с двумя степенями свободы По матрице жесткости КЭ в местной системе координат опреде- ляется ее матрица жесткости в общей системе координат по формуле блоки которой L i, L j, L k, L m имеют вид (1). (1)

7. Объединение конечных элементов Пусть в расчетной модели сооружения имеется m КЭ и n узлов, а вектора ее перемещений и узловых нагрузок определены так: Если известны матрицы жесткостей всех КЭов и вектора узловых нагрузок, из них можно сформировать матрицу жесткости и вектор нагрузки всего сооружения. Эта задача решается с помощью матрицы индексов матрицы соответствия номеров узловых перемещений КЭов узловым перемещениям всей модели. С ее помощью матрица жесткости K получается рассылкой в ее блоки отдельных блоков матриц жесткостей КЭов по информации из матрицы индексов. Рассылка идет суммированием рассылаемого блока с имеющимся блоком в матрице K. Этот метод называется методом сложения жесткостей. Вектор узловой нагрузки P формируется аналогично. В результате формируется разрешающее уравнение МКЭ: K u = P. Здесь K и P матрица жесткости и вектор нагрузки всей системы. Матрицу K часто называют глобальной матрицей жесткости.

8. Учет граничных условий Разрешающее уравнение МКЭ K u = P нельзя решить относительно перемещений u, т.к. матрица жесткости K является вырожденной (ее определитель равен нулю). Причина в том, что при составлении этой матрицы не учитываются граничные условия закрепления в опорах. Чтобы избежать вырожденности матрицы жесткости K, все элементы ее строк и столбцов, соответствующие жестким закреплениям, приравниваются нулю, а вместо диагональных элементов ставятся единицы. Тогда разрешающее уравнение упрощается без нарушения ее структуры и принимает вид: Здесь индексы з и н соответствуют закрепленным и незакрепленным направлениям, E единичная матрица, 0 нулевая матрица, и блоки матрицы жесткости и вектора нагрузки, соответствующие незакрепленным направлениям.

9. Определение перемещений, усилий и напряжений После решения разрешающего уравнения и определения вектора узловых перемещений u, из этого вектора можно выбирать перемещения отдельных КЭов и определять перемещения в интересующих точках любого i-го КЭ по формуле: Усилия в узлах и напряжения внутри КЭ вычисляются по следующим формулам: В конкретных случаях последнюю формулу можно упростить. Например, напряжения ферменного элемента определяются так:

10. Алгоритм расчета сооружений МКЭ Состоит из следующих этапов: 1. Выбор расчетной модели. 2. Перенос нагрузки в узлы. 3. Определение матриц жесткостей КЭов. 4. Перевод матриц жесткостей КЭов в общую систему координат. 5. Сборка глобальной матрицы жесткости K. 6. Учет граничных условий. 7. Решение разрешающего уравнения. 8. Вычисление внутренних усилий. 9. Обработка результатов расчета.

11. Порядок расчета по МКЭ В настоящее время разработаны вычислительные комплексы NASTRAN, ANSIS, ЛИРА, СУМРАК и др., позволяющие рассчитывать сложные и разнообразные сооружения на различные воздействия. Они рассчитаны на использование мощных компьютеров, разнообразной вспомогательной аппаратуры, сложных компьютерных программ, и в основном состоят из следующих трех частей: 1. Препроцессор – предназначен для подготовки и ввода исходных данных в компьютер. Используется для формирования расчетной модели сооружения, определения координат узлов, геометрических и физических характеристик КЭов, проверки правильности и полноты исходных данных. Дает возможность обзора расчетной модели в разных ракурсах на мониторе. 2. Процессор – блок математического расчета МКЭ. Входящие в него компьютерные программы предназначены для: составления и решения разрешающего уравнения; вычисления перемещений и деформаций, внутренних усилий и напряжений; проверки на прочность и жесткость; решения задач динамики и устойчивости. 3. Постпроцессор – предназначен для компьютерной обработки результатов расчета, представления их в виде эпюр, в удобной для анализа табличной, графической и анимационной формах.

Небоскреб высотой 301 м, построен в 1980 г. в США (Техас, Хьюстон)

Мост в Южной Каролине, США

КЭ-ные модели элементов моста и их напряженное состояние

Расчет НДС корабля

Вантовый мост