Презентация на тему использование уравнений окружности и прямой при решении задач Работу выполнила Ученица 9 А класса Шевченко Виктория

План: Цели: Повторить уравнение окружности и прямой. Показать применение уравнений окружности и прямой при решении задач. Совершенствование навыков решения задач методом координат.

981 Дано: Точки А и В Найти: Множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В. А) В) A(0;0) В(a;0) М(х; у)

Решение: Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке а).Тогда точки А и В имеют координаты А(0;0), В(а;0), где а=АВ. Найдём расстояние от произвольной точки М(x;y) до точек А и В: AM=х 2 + у 2, ВМ = (х - а) 2 + у 2 Если точка М(х; у) принадлежит искомому множеству, то АМ=2ВМ, или АМ=4ВМ. Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению: х 2 + у 2 = 4((х - а) 2 + у 2 ). Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, уравнение и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соответствующим образом, приводим уравнение к виду (х – 4/3 а) 2 + у 2 = (2/3 а) 2. Таким образом, искомым множеством точек является окружность радиуса 2/3 а с центром в точке С(4/3 а;0). Эта окружность изображена на рисунке б).

Замечание: Аналогично можно доказать, что множеством всех точек М, удовлетворяющих условию АМ=kВМ, где k – данное положительное число, не равное единице, является окружностью радиуса ka /k 2 - aс центром в точке ( k 2 a/k 2 -1;0). Эти окружности, соответствующие различным значениям k 1, называют окружностями Аполлония, поскольку они рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате О кругах в II в.до н.э. Если k = 1, то задача сводится к известной нам задаче о нахождении множества всех точек, равноудалённых от точек А и В. Таким множеством, как мы знаем, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

982(а) Дано: Точка В – середина отрезка АС, АС = 2 Найти: Множество всех точек М, для каждой из которых АМ + ВМ + СМ = 50. у АВС х М

Решение: Введём систему координат так, чтобы АС Є ОХ, В – начало координат, получим: А(-1;0), С(1;0), М(х;у). АМ 2 = (х+1) 2 + у 2 ВМ 2 = х 2 + у 2 СМ 2 = (х-1) 2 + у 2 (х+1) 2 + у 2 + х 2 + у 2 + (х-1) 2 + у 2 = 50 х х у 2 + х 2 + х 2 – 2 х + 1 = 50 3 х у = 50 3 х у 2 = 48 х 2 + у 2 = 16 – окружность с центром В (0;0) и R = 4

Литература: Геометрия, 7-9, Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.