Замечательные точки и линии треугольника Презентацию выполнили: Гофман Наталья 10 класс МАОУ СОШ 37 Загрядский Максим 11 класс МАОУ СОШ 37 г. Томск

Медиана Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. D

Свойства 1) Три медианы пересекаются в одной точке, которая находится внутри треугольника (центр масс треугольника). 1) Три медианы пересекаются в одной точке, которая находится внутри треугольника (центр масс треугольника). 2) Каждая медиана точкой пересечения медиан делится в отношении 2 : 1, считая от вершины. 2) Каждая медиана точкой пересечения медиан делится в отношении 2 : 1, считая от вершины. 3) Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника (одинаковой площади). 3) Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника (одинаковой площади).

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. 4) Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. 5) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Сумма квадратов длин всех медиан треугольника равняется ¾ суммы квадратов длин его сторон. 6) Сумма квадратов длин всех медиан треугольника равняется ¾ суммы квадратов длин его сторон.

Формулы для расчета медианы треугольника M - медиана, отрезок |AO| У - угол CAB С - сторона на которую ложится медиана a, b - стороны треугольника B C A

Биссектриса Биссектриса – отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне и делит внутренний угол пополам.

Свойство 1 Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Это свойство имеет место как для внутренней, так и для внешней биссектрисы. Это свойство имеет место как для внутренней, так и для внешней биссектрисы.

Свойство 2 Три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая всегда лежит внутри треугольника. Эта точка является центром вписанной окружности. Три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая всегда лежит внутри треугольника. Эта точка является центром вписанной окружности.

Формулы для расчета биссектрисы треугольника L - биссектриса, отрезок |OB|. a, b - стороны треугольника. Y - угол ABC, разделенный биссектрисой пополам. c - сторона на которую опущена биссектриса. d, e - отрезки полученные делением биссектрисы. p - полупериметр, p=(a+b+c)/2

Высота Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. A B C D

Свойство высот треугольника Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Формулы для расчета высоты треугольника H - высота треугольника β, γ - углы при основании a - сторона, основание b, c - стороны p - полупериметр, p=(a+b+c)/2 R - радиус описанной окружности S - площадь треугольника

Средняя линия Отрезок, который соединяет две стороны треугольника в их серединах, называется - средняя линия треугольника. Отрезок, который соединяет две стороны треугольника в их серединах, называется - средняя линия треугольника. Средняя линия, какого либо треугольника, всегда расположена параллельно одной из его сторон и является половиной этой стороны Средняя линия, какого либо треугольника, всегда расположена параллельно одной из его сторон и является половиной этой стороны

Свойства средней линии Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному, с коэффициентом подобия ½. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному, с коэффициентом подобия ½. ½ DE=½AC

Серединный перпендикуляр Серединный перпендикуляр – прямая, перпендикулярная стороне треугольника и делящая ее пополам.

Свойство 1 В случае остроугольного треугольника точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности) лежит внутри треугольника

Свойство 2 В случае прямоугольного треугольника точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности)совпадает с серединой гипотенузы.

Свойство 3 В случае тупоугольного треугольника точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности) лежит вне треугольника.

Окружность девяти точек Теорема В любом треугольнике основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности.

Прямая Эйлера Проходит через: Центроид треугольника - M Центроид треугольника - M Ортоцентр треугольника - H Ортоцентр треугольника - H Центр описанной окружности большого треугольника - O Центр описанной окружности большого треугольника - O Центр описанной окружности малого треугольника; точка Эйлера - O 1 Центр описанной окружности малого треугольника; точка Эйлера - O 1

Точка Ферма Построим на сторонах произвольного треугольника ABC вне его равносторонние треугольники ABC', BCA', CAB'. Тогда шесть кривых три окружности, описанные вокруг этих правильных треугольников, и прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке X. Если все углы треугольника ABC не превосходят 120°, то X лежит в треугольнике ABC и является точкой Ферма S. В этом случае углы между отрезками AS, BS и CS равны между собой и, значит, равны 120°. Более того, длины отрезков AA', BB' и CC', называемых линиями Симсона, тоже равны между собой и равны AS + BS + CS. Если один из углов треугольника ABC больше 120°, то X лежит вне треугольника ABC, а точка Ферма S совпадает с вершиной тупого угла. Теорема дает алгоритм построения точки Ферма с помощью циркуля и линейки. В нетривиальном случае, когда все углы треугольника меньше 120°, точку Ферма находят как пересечение любых двух из шести кривых, описанных в теореме.

Физическое построение точки Ферма Физически эту точку можно построить так: отметим на плоской гладкой горизонтальной поверхности точки A, B и C и просверлим в отмеченных местах сквозные отверстия; свяжем три нити и пропустим сверху их свободные концы через отверстия; привяжем к свободным концам грузики одинаковой массы; когда система придет в равновесие, узел окажется в точке Ферма для треугольника ABC. Точка Торричелли точка треугольника, из которой все стороны видны под углом в 120°. Такая точка существует только в треугольниках с углами меньшими 120°, при этом, данная точка единственная и, значит, совпадает с точкой Ферма. A C B

Прямая Симсона Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.

Точка Жергонна Точка Жергонна точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон и вписанной окружности.

Точка Нагеля Точка Нагеля точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями. Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2 : 1

Точки Брокара Точка Р, лежащая внутри треугольника АВС, называется первой точкой Брокара, если РАС = РСВ = РВА Точка Р, лежащая внутри треугольника АВС, называется первой точкой Брокара, если РАС = РСВ = РВА Для второй точки Брокара Q должны выполняться равенства QAB = QCA = QBC Для второй точки Брокара Q должны выполняться равенства QAB = QCA = QBC

Спасибо за внимание