ЕГЭ по математике в Калужской области: анализ и перспективы Докладчик: председатель областной экспертной комиссии по математике Степанов Сергей Евгеньевич

Количество участников ЕГЭ по математике В ЕГЭ по математике в Калужской области приняли участие 4776 человек, в том числе в основной волне ЕГЭ в июне – 4580 человек. 63 и более баллов – 1418 (31%) менее 24 баллов – 67 человек (1,5%) по России: 63 и более баллов – 17,1% менее 24 баллов – 2,6%

Шкала перевода первичных баллов в тестовые в 2013 году Первичный балл Тестовый балл Первичный балл Тестовый балл

Проблемы в преподавании математики Мотивационное Избыточное единство требований к результатам Содержательные проблемы и неэффективность

Задача В1 (демонстрационный вариант 2014 года) Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%? Успешно справились в 2013 году 82,37% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): неполное решение задачи (в ответ записывали промежуточный результат); вычислительные ошибки.

Задача В2 (демонстрационный вариант 2014 года) На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной. Успешно справились в 2013 году 97,01% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): неполное решение задачи (в ответ записывали значение или отсчёт начинали с конца)

Задача В3 (демонстрационный вариант 2014 года) Середины последовательных сторон прямоугольника, диагонали которого равны 10, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника. Успешно справились в 2013 году 85,05% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): ошибочное вычисление длин по координатам; использование неверной формулы площади.

Задача В4 (демонстрационный вариант 2014 года) Строительная фирма планирует купить 70 м 3 пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой? Постав-Стоимость СтоимостьДополнительные щикпеноблоков (руб.) доставки (руб. за 1 м 3 ) условия доставки А Нет Б При заказе товара на сумму свыше рублей доставка бесплатная В При заказе товара на сумму свыше рублей доставка бесплатная Успешно справились в 2013 году 88,90% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): вычислительные; неверная трактовка условий.

Задача В5 (демонстрационный вариант 2014 года) Найдите корень уравнения log 3 (x-3) = 2. Успешно справились в 2013 году 93,74% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): вычислительные; неверное решение линейного уравнения; незнание определения логарифма; неверное решение логарифмического уравнения.

Задача В6 (демонстрационный вариант 2014 года) Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32°. Успешно справились в 2013 году 78,04% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): отсутствие видения геометрической конструкции; незнание свойств треугольников; вычислительные.

Задача В7 (демонстрационный вариант 2014 года) Найдите sin α, если cos α = 0,6 и π

Задача В8 (демонстрационный вариант 2014 года) Успешно справились в 2013 году 73,83% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): неумение связать свойства функции с производной; невнимательное чтение условия. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x 1, x 2,..., x 9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

Задача В9 (демонстрационный вариант 2014 года) Успешно справились в 2013 году 78,83% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): отсутствие видения геометрической конструкции; неумение применить теорему Пифагора к решению прямоугольного треугольника; вычислительные. Найдите площадь осевого сечения конуса, радиус основания которого равен 3, а образующая равна 5.

Задача В10 (демонстрационный вариант 2014 года) В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах. Успешно справились в 2013 году 70,46% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): неверное прочтения условия задачи; нахождение вероятности другого события; вычислительные.

Задача В11 (демонстрационный вариант 2014 года) Объём первого цилиндра равен 12. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра. Успешно справились в 2013 году 58,52% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): отсутствие видения геометрической конструкции; ошибочная формула объёма тела; вычислительные.

Задача В12 (демонстрационный вариант 2014 года) Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением v = c·(f – f 0 )/(f + f 0 ), где c = 1500 м/с скорость звука в воде, f 0 частота испускаемого сигнала (в МГц), f частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала, если батискаф погружается со скоростью 2 м/с. Успешно справились в 2013 году 61,81% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): вычислительные ошибки.

Задача В13 (демонстрационный вариант 2014 года) Весной катер идёт против течения реки в 1 2 / 3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1½ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч). Успешно справились в 2013 году 65,14% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): ошибки, связанные с неправильным прочтением условия задачи и составлением уравнения; попытки получить ответ, манипулируя данными в условии числами; вычислительные.

Задача В14 (демонстрационный вариант 2014 года) Найдите наименьшее значение функции y = (x )/x на отрезке [2; 32]. Успешно справились в 2013 году 59,61% При выполнении задачи В14 допущено много ошибок как вычислительного характера, так и показывающих незнание и непонимание темы «Применение производной к исследованию функции».

Задача C1 (демонстрационный вариант 2014 года) а) Решите уравнение cos 2x = 1 – cos( /2 – x). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5 /2;- ) Ответ: а) n, /6 +2 n, 5 /6 +2 n, n Z б) -2 ; -11 /6; -7 /6 Критерии оценивания задачи: 2 балла обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах; 1 балл обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б; 0 баллов решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Задача C1 (основные ошибки) Неверное преобразование тригонометрических выражений; Потеря корней при решении sin x = a (берётся лишь одна серия) Необоснованный отбор корней (должен быть либо проиллюстрирован, либо должны быть решены неравенства) Данные 2013 года: 0 баллов- 57%; 1 балл- 11%; 2 балла- 32%.

Задача C2 (демонстрационный вариант 2014 года) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны рёбра: AB = 3, DA = 2, AA 1 = 5. Точка O принадлежит ребру BB 1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C 1. Ответ: 133 Критерии оценивания: 2 балла обоснованно получен верный ответ; 1 балл решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано; 0 баллов решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Задача C2 (основные ошибки) Неверные геометрические построения; Не обоснованы (но тем не менее используются) свойства планиметрических фигур Данные 2013 года: 0 баллов- 91,5%; 1 балл- 4%; 2 балла- 4,5%.

Задача C3 (демонстрационный вариант 2014 года) Решите систему неравенств log 3 (x 2 – x – 2) 1 + log 3 ((x+1)/(x – 2)), 4 x 9· 2 x + 22 Ответ: (2, log 2 11] Критерии оценивания задачи: 3 балла обоснованно получен верный ответ; 2 балла обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы; 1 балл обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы; 0 баллов решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Задача C3 (основные ошибки) ошибки, связанные с незнанием основных свойств логарифмических и показательных функций; ошибки, связанные с неравносильностью переходов в неравенствах ошибки, связанные с нахождением области определения. неумение оценивать значение логарифма. Данные 2013 года: 0 баллов- 84%; 1 балл- 10%; 2 балла- 1% 3 балла - 5%.

Задача C4 (демонстрационный вариант 2014 года) Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C. а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1. Ответ: 3,2

Задача C5 (демонстрационный вариант 2014 года) Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции f (x)= 2ax + |x x + 7| больше 1. Ответ: 0,5 < a < 4 + 6

Задача C6 (демонстрационный вариант 2014 года) На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8. а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Ответ: а) 44, б) отрицательных, в) 17

Статистика по задачам С4-С6 БаллыС4С5С6 092,7%93,3%89,7% 11,8%5,2%7,3% 22,7%0,4%2,3% 32,8%0,5% 40,6%0,2%

Спасибо за внимание!