Подготовили: Корпатенков А. 11«А» Тюрин Е. 11«А» Проверила: Андреещева В.И.

* Учиться решать задачи по стереометрии (С2 из ЕГЭ).

* 1. Рассмотреть три способа решения задач на нахождение угла между плоскостями: * строя линейный угол двугранного угла между плоскостями; * используя метод координат; * находя угол между прямыми, перпендикулярными данным плоскостям. * 2. По каждому способу рассмотреть одну задачу с решением и пошаговой презентацией.

1. На уроках стереометрии классах. 2. Подготовка к успешной сдаче ЕГЭ.

* При решении задач на углы в стереометрии об ычно используют поэтапно вычислительный или координатно-векторный метод. * Первый способ классический и требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение. * Обычно при нахождении угла между двумя пересекающимися плоскостями сначала приходится выполнять дополнительные построения, чтобы увидеть пересекающиеся прямые, угол между которыми равен искомому углу, и после этого связывать этот угол с исходными данными при помощи признаков равенства, признаков подобия, теоремы косинусов или определений синуса, косинуса и тангенса угла.

Преимуществами применения поэтапного вычисл ительного метода являются: высокая наглядность дополнительных построений, которые подробно изучаются на уроках геометрии в классах; значительное сокращение объема вы числений при правильном подходе. Для нахождения угла между пересекающимися плоскостями α и β выбирают какую-нибудь точку, принадлежащую линии их пересечения с, и восстанавливают перпендикуляры a и b к линии c, лежащие в плоскостях α и β соответственно. Угол между прямыми a и b будет искомым углом между плоскостями α и β.

* В кубе A...D1 найдите угол между плоскостями ABC и AB1C1.

* Если линия пересечения плоскостей α и β, указанных в задаче, не дана или находится вне данного рисунка, то для нахождения угла между плоскостями α и β выбирают какие-нибудь плоскости α и β соответственно параллельные α и β, линия пересечения которых расположена на рисунке. При этом одна из плоскостей α и β может совпадать соответственно с α или β. После этого находят угол между плоскостями α и β.

В прямоугольном параллелепипеде ABCD A 1 B 1 C 1 D 1, где AB=5,AD=12, CC 1 =15. Найдите угол между плоскостями ABC и A 1 DB. Решение. 1)BD – линия пересечения плоскостей ABC и A 1 DB. 2) В плоскости ABC проведем AK BD,где К BD. 3)Соединим отрезком точки А 1 и К. А 1 К BD по теореме о трех перпендикулярах. K

4) АКА 1 – линей ный двугранного угла между плоскостями АВС и А1DВ. АКА 1 найдем из треугольника А 1 DВ. 5)BD=AB 2 +АD 2 = =25+144=13. S ABD =½ AB*AD S ABD =½ BD*AK C BA K K 12 5 =>AB*AD=BD*AK

... K

К недостаткам использования поэтапного вычис лительного метода можно отнести необходимос ть: знать большое количество формул из стер еометрии и планиметрии; строить дополнитель ные построения. И это может оказаться серьез ной проблемой даже для хорошо подготовленн ых учеников.Если у учащихся хорошее стереом етрическое воображение, проблем с дополните льными построениями не возникнет. Остальным школьникам предлагаем отказаться от традиц ионного метода и рассмотреть более эффектив ный метод координат.

Получим систему (1;0;–1) n Вектор нормали плоскости СDА 1 : Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, длины ребер которого АВ = 2, AD = AA 1 = 1. Найдите угол между плоскостями CD 1 B 1 и CDA 1. C B A D B1B1 C1C1 D1D1 A1A х yz 2 11 (0;2;0) Радиус-вектор имеет такие же координаты, как и его конец.CD(0;2;0) CB 1 (1;0;1) (1;0;1)(1;0;1)(1;0;1)(1;0;1) Найдем вектор нормали плоскости СDА 1. Пусть вектор нормали n {x;y;z}. Вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда, CDn CB 1 n CDn = 0 значит, CB 1 n = 0 значит, Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости СDА 1, бесконечно n много. Выберем из данного множества ненулевой вектор n, положив х = 1, тогда у = 0, z = – 1

Получим систему (2;1;–2) s Вектор нормали плоскости СD 1 А 1 : Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, длины ребер которого АВ = 2, AD = AA 1 = 1. Найдите угол между плоскостями CD 1 B 1 и CDA 1. C B A D B1B1 C1C1 D1D1 A1A х yz 2 11 (0;2;1) Радиус-вектор имеет такие же координаты, как и его конец. CD 1 (0;2;1) CB 1 (1;0;1) (1;0;1)(1;0;1)(1;0;1)(1;0;1) Найдем вектор нормали плоскости СD 1 В 1. Пусть вектор нормали s {x;y;z}. Вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда, CD 1 s CB 1 s CD 1 s = 0 значит, CB 1 s = 0 значит, (0;2;0) Из (2) Из (2) Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости СD 1 B 1, бесконечно s много. Выберем из данного множества ненулевой вектор s, положив х = 2, тогда у = 1, z = – 2 «–»

(1;0;–1) n (2;1;–2) s 2

Рассмотрим задачу на нахождение угла между плоскостями как угла между двумя прямыми, перпендикулярными этим плоскостям.

Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите угол между плоскостями AB 1 C 1 и A 1 B 1 C. AD C B A1A1 B1B1 C1C1 D1D1

AD C B A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Угол между плоскостями будем искать как угол между перпендикулярными им прямыми.

Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите угол между плоскостями AB 1 C 1 и A 1 B 1 C. AD C B A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Угол между плоскостями будем искать как угол между перпендикулярными им прямыми. Для плоскости AB 1 C 1 такой прямой будет D 1 C ( 1. D 1 C DC, как диагональ квадрата. 2. D 1 C AD по теореме о трех перпендикулярах)

Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите угол между плоскостями AB 1 C 1 и A 1 B 1 C. AD C B A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Угол между плоскостями будем искать как угол между перпендикулярными им прямыми. Для плоскости A 1 B 1 C такой прямой будет AD 1 (Аналогично)

Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите угол между плоскостями AB 1 C 1 и A 1 B 1 C. AD C B A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Угол между плоскостями будем искать как угол между перпендикулярными им прямыми. Угол между плоскостями AB 1 C 1 и A 1 B 1 C равен углу между прямыми D 1 C и AD 1. Угол AD 1 C – искомый. Треугольник AD 1 C – правильный, т.к. его стороны – диагонали равных квадратов. А значит угол AD 1 C=60° Ответ: 60°