Уравнения математической физики Представление дисциплины

2 Общие сведения по дисциплине Уравнения математической физики Читается для специальности Математическое обеспечение и администрирование информационных систем Важность изучения дисциплины Уравнения математической физики лежат в основе математических моделей реальных явлений, используются в моделировании физических, химических, биологических, экономических и социальных процессов, а также в инженерно- технических приложениях. Сфера профессионального использования Дисциплина предназначена для студентов, аспирантов, преподавателей вузов, научных сотрудников, инженеров, программистов и других специалистов, использующих в своей деятельности уравнения математической физики и математические модели на их основе.

3 Краткое описание дисциплины Курс посвящен изучению дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, линейных интегральных уравнений и основ вариационного исчисления. Учебно-практическое пособие по данному курсу составлено в соответствии с требованиями по обязательному минимуму содержания и уровню подготовки специалиста с высшим образованием Государственным образовательным стандартам высшего профессионального образования по специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», а также в соответствии с учебными программами.

4 Цели и задачи преподавания дисциплины Основной целью дисциплины является формирование у студентов фундаментальных основ теории уравнений математической физики в объёме, достаточном для применения в специальных дисциплинах, читаемых студентам университета, а также подготовка студентов к самостоятельному овладению математическими знаниями, в частности, уравнений математической физики, по мере потребности в них. Основными задачами дисциплины являются освоение математического аппарата теории уравнений математической физики, необходимого для решения теоретических и практических задач применения дисциплины, а также развитие логического мышления, позволяющего математически формулировать решаемые задачи и решать их, подъем общего уровня математической культуры, привитие студентам навыков самостоятельно изучать учебную и специальную литературы по математике и использовать ее.

5 Место дисциплины среди смежных дисциплин Данная дисциплина требует предварительного изучения курсов математического анализа, линейной алгебры, но в первую очередь – обыкновенных дифференциальных уравнений. В то же время дисциплина является одной из базовых дисциплин для дисциплины «Математическое моделирование»

6 Начальные знания Для успешного освоения курса требуется знание основ математического анализа, связанных с производными, интегралами, правилами дифференцирования и методами интегрирования, с линейными пространствами и операторами, теорией рядов Фурье, векторным анализом, кратными интегралами и дифференциальными операциями, а также методы решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

7 Итоговые знания, умения и навыки В результате изучения дисциплины студенты должны иметь ПРЕДСТАВЛЕНИЯ: О значение основных теорем теории уравнений математической физики (теоремы существования и единственности решения задач Коши основных типов, начально-краевых задач основных типов, теоремы о непрерывной зависимости решения задач Коши от начальных данных и параметров), представлять специфику задач решаемых с помощью уравнений математической физики В результате изучения дисциплины студенты должны получить ЗНАНИЯ: основными методами решения начальных и краевых задач для уравнений математической физики и быть способным перевести конкретную прикладную задачу на язык дифференциальных уравнений с частными производными или интегральных уравнений и определить пути ее решения. В результате изучения дисциплины студенты должны приобрести УМЕНИЯ И НАВЫКИ: находить решения: общие для основных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, задач Коши для уравнений параболического и гиперболического типов, начально-краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов в ограниченных областях, внешних и внутренних краевых задач для уравнений эллиптического типа, простейшие вариационные задачи, линейные интегральные уравнения основных типов, уметь доказывать изучаемые теоремы.

8 Содержание лекционного курса Глава 1. Постановка и классификация задач математической физики. Глава 2. Метод Фурье (метод разделения переменных) Глава 3. Задачи Коши и методы их решения Глава 4. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа Глава 5. Интегральные уравнения Глава 6. Вариационные методы в математической физике

9 Глава 1. В первой главе рассмотрены основные понятия теории дифференциальных уравнений с частными производными: классификация линейных уравнений с двумя и более независимыми переменными, приведение их к каноническому виду. Изучены основные виды уравнений математической физики: Лапласа, Пуассона, Гельмгольца, волновое, диффузии. Рассмотрены постановки основных типов задач математической физики: задач Коши, краевых задач, начально-краевых задач. Обсуждены вопросы корректности постановки задач математической физики. Изучены общие свойства решений задач математической физики: принцип суперпозиции, принцип Дюамеля. Рассмотрен вывод основных уравнений математической физики, возникающих в электродинамике.

10 Глава 2. Во второй главе изучены основы метода Фурье и его применение для решения начально-краевых задач математической физики. Рассмотрена постановка задачи Штурма-Лиувилля, изучены свойства ее собственных функций и собственных значений. Найдены решения начально-краевых задач для уравнения диффузии и волнового уравнения. Обсуждены вопросы существования и единственности классических решений этих задач.

11 Глава 3. В третьей главе изучены методы решения задач Коши для волнового уравнения и уравнения диффузии, доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости решений этих задач. Получена формула Даламбера для решения задачи Коши для одномерного волнового уравнения, формулы Пуассона для решения задачи Коши для одномерного уравнения диффузии. Изучен метод интегрального преобразования Фурье. Получена функция Грина одномерного уравнения диффузии, изучены ее свойства. Рассмотрен метод функции Грина для нахождения решения задачи Коши для уравнения диффузии в пространстве.

12 Глава 4. В четвертой главе изучены основные типы краевых задач для уравнений эллиптического типа. Найдены фундаментальные решения уравнений Лапласа и Гельмгольца на плоскости и в пространстве. Изучен метод функции Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Построена функция Грина краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона. Рассмотрены элементы теории специальных функций (цилиндрических и сферических) и их применение для нахождения собственных функций оператора Лапласа в круге и шаре.

13 Глава 5. В пятой главе изучена классификация интегральных уравнений. Показан метод решения интегральных уравнений с вырожденными ядрами. Рассмотрены теоремы Фредгольма, Гильберта-Шмидта. Показана связь интегральных уравнений и краевых задач математической физики. Доказана теорема разложимости Стеклова, как следствие из теоремы Гильберта-Шмидта.

14 Глава 6. В шестой главе изучены основные понятия вариационного исчисления, такие как функционалы, их вариации, экстремумы, постановка вариационных задач. Рассмотрены необходимое условие существования локального экстремума функционала, уравнения Эйлера-Лагранжа и Эйлера- Остроградского. Показано, что вариационная задача на экстремум интеграла энергии приводит к внутренней задаче Дирихле для уравнения Лапласа. Рассмотрено применение принципа наименьшего действия Гамильтона для получения уравнения колебаний струны.

15 Лабораторный практикум не предусмотрен

16 Контрольные мероприятия Предварительный контроль Самостоятельные работы Текущий контроль Контрольные работы Итоговый контроль Зачет

17 Глоссарий Вариационная задача - это поиск экстремума функционала в заданном классе функций. Дифференциальное уравнение с частными производными (УсЧП) - это соотношение, связывающее неизвестную функцию нескольких переменных и(х, у, z, t), ее частные производные и независимые переменные Задача Коши - это задача поиска решения уравнения математической физики, удовлетворяющего начальным условиям Классические решения - это решения, гладкость которых согласована с уравнением, начальными и краевыми условиями Корректно поставленная задача - это задача, удовлетворяющая следующим требованиям: 1) решение задачи должно существовать в данном классе функций; 2) решение задачи должно быть единственным в данном классе функций; 3) решение задачи должно быть устойчивым. Краевая задача - это задача поиска решения УсЧП, удовлетворяющего краевым условиям. Краевые или граничные условия - это заданные значения искомой функции и ее нормальное производной на границе области поиска решения. Локальные экстремумы - это локальные максимумы и минимумы функционала. Начальные условия - это заданные значения искомой функции и ее частных производных по времени в начальный момент времени. Обобщенные решения - это решения, не имеющие в некоторых точках производных в обычном смысле. Порядок УсЧП - это порядок старшей частной производной, входящей в это уравнение. Регулярное решение - это такое решение, которое является непрерывным и обладает непрерывными частными производными, входящими в данное УсЧП. Решение УсЧП - это любая функция, после подстановки которой в данное УсЧП, оно переходит в тождество. Спектр - это совокупность всех характеристических чисел ядра. Устойчивое решение - это решение, непрерывно зависящая от исходных данных. Фундаментальное решение - это такое решение, которое регулярно всюду за исключением конечного числа изолированных точек. Функционал - это правило, согласно которому каждой функции y(x) из определенного класса ставится в соответствие действительное число. Характеристика - это общий интеграл характеристического уравнения. Характеристические числа оператора K (ядра) - это числа, при которых однородное уравнение = K имеет ненулевые решения. Экстремали - это кривые, соответствующие общему решению уравнения Эйлера-Лагранжа.

18 Список литературы Основная Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, с. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, с. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука с. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во МГУ, Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике. М.: Изд-во МГУ, с. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука с. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука с. Уроев В.М. Уравнения математической физики. М.: ИФ Яуза – 373 с. Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, с. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Наука, – 342 с. Дополнительная Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, – 432 с. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, – 368 с. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики В 2-х т. Пер. с англ. М.: ИЛ. т – 486 с. т – 381 с. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. Пер. с нем. М.: ИЛ – 457 с. Маделунг Э. Математический аппарат физики. Пер. с нем. М.: Физматлит – 618 с. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. В 2-х т. Пер. с англ. М.: ИЛ. т – 931 с. т – 897 с. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир – 830 с.

19 Самостоятельная работа Список вопросов для самоподготовки к зачету 1. Основные понятия теории уравнений с частными производными. 2. Классификация и канонический вид УсЧП 2-ого порядка с двумя и несколькими независимыми переменными. 3. Основные виды уравнений математической физики. Начальные условия и задача Коши. 4. Краевые условия и постановка начально-краевых задач в одномерном случае. 5. Краевые условия и постановка начально-краевых задач в пространстве. 6. Согласованность условий и корректность постановки задач математической физики. 7. Принцип суперпозиции для линейных задач математической физики. 8. Задачи с неоднородными граничными условиями. Принцип Дюамеля. 9. Скалярное произведение и норма функций. Обобщенные ряды Фурье. 10. Формулы Грина. Эрмитовы операторы. 11. Задача Штурма-Лиувилля. Основные свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля. 12. Общая схема применения метода Фурье для уравнения диффузии. 13. Свойства решения начально-краевой задачи для уравнения диффузии. 14. Общая схема применения метода Фурье для волнового уравнения. 15. Свойства решения начально-краевой задачи для волнового уравнения. 16. Общее решение однородного волнового уравнения. 17. Задача Коши для однородного волнового уравнения на бесконечной прямой. Формула Даламбера. 18. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения на бесконечной прямой. 19. Существование и единственность решения задачи Коши для волнового уравнения на бесконечной прямой. 20. Непрерывная зависимость решения задачи Коши для однородного волнового уравнения на бесконечной прямой от начальных данных. 21. Непрерывная зависимость решения задачи Коши для неоднородного волнового уравнения на бесконечной прямой от неоднородности. 22. Задачи Коши для волнового уравнения в пространстве. 23. Задача Коши для однородного уравнения диффузии на бесконечной прямой. Формула Пуассона. 24. Функция Грина уравнения диффузии на бесконечной прямой и ее свойства. 25. Задачи Коши для неоднородного уравнения диффузии на бесконечной прямой. 26. Свойства решения задачи Коши для уравнения диффузии на бесконечной прямой. 27. Метод функции Грина нахождения решения задачи Коши для уравнения диффузии в пространстве. 28. Построение функции Грина для уравнения диффузии в пространстве. 29. Оператор Лапласа в криволинейных координатах. 30. Фундаментальное решение уравнения Лапласа на плоскости и в пространстве. 31. Фундаментальные решения уравнений Гельмгольца в пространстве. 32. Определение функции Грина краевых задач для уравнений эллиптического типа. 33. Интегральное представление решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. 34. Решения основных типов краевых задач для уравнений эллиптического типа. 35. Построение функции Грина краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона. 36. Потенциалы. 37. Уравнение Бесселя и цилиндрические функции. Задача Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа в круге. 38. Сферические функции. Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра. 39. Операторная форма интегральных уравнений. Интегральные уравнения для функций многих переменных. 40. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма. 41. Интегральные уравнения с симметричными ядрами. Теорема Гильберта-Шмидта и ее приложения. 42. Вариация функционала. Экстремум функционала и уравнение Эйлера-Лагранжа. 43. Экстремум функционала, зависящего от функции двух переменных. Вариационная задача для интеграла энергии и задача Дирихле. 44. Экстремум действия и уравнение колебаний струны.