Расчёт сооружений на действие подвижных и других временных нагрузок нагрузок С ТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. Ч асть I ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ 3

Определение силовых факторов с помощью линий влияния Определение с помощью линии влияния значения силового фактора от заданной нагрузки называется загружением линии влияния.

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ НЕПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ 1. Сосредоточенная нагрузка F F yFyF Л.В. S S F = F * y F

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ НЕПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ 2. Сосредоточенный момент М F yFyF Л.В. S S M = M * tg M F = M / dx y F + dy dy M k k dx M S M = S F l + S F r = = ( –F ) * y F + F * ( y F + dy ) = = F * dy = ( M / dx ) * dy = = M * dy / dx = M * tg M

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ НЕПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ y (x)y (x) Л.В. S S q = q * S q (x)q (x) dx dS q = dF * y (x) = = q (x) * y (x) * dx ; x q (x)q (x) x dF = q (x) * dx а S При q (x) = const = q: 3. Распределённая нагрузка q

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ НЕПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ Формула загружения л.в. S: Правило знаков: F > 0 y F > 0 Л.В. S S = F * y F + M * tg M + q * S q > 0 M > 0 S > 0 M > 0

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ НЕПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ F1F1 y1y1 Л.В. S Использование статически эквивалентных преобразований нагрузок Статически эквивалентное преобразование – замена группы сил другой группой, имеющей такие же главный вектор и главный момент (такую же равнодействующую), как и исходная. Правило : загружение прямолинейного участка линии влияния любыми статически эквивалентными нагрузками даёт один и тот же результат. F2F2 y2y2 a c R yRyR

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ НЕПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ F1F1 y1y1 Л.В. S Использование статически эквивалентных преобразований нагрузок Статически эквивалентное преобразование – замена группы сил другой группой, имеющей такие же главный вектор и главный момент (такую же равнодействующую), как и исходная. Правило : загружение прямолинейного участка линии влияния любыми статически эквивалентными нагрузками даёт один и тот же результат. F2F2 y2y2 a c R yRyR Л.В. S F F F F F qq b bdd F lili RiRi RnRn R1R1 R2R2 yR1yR1 yR2yR2 y Ri y Rn R 1 = F R 2 = 2(F + qb) R i = ql i R n = 3F

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ q Л.В. S S max x Условие экстремума: S(x)S(x) x S min S max S min

S max Условие максимума: S(x)S(x) x S min Условия максимума и минимума кусочной функции S ( x ) S(x)S(x) x S max x0x0 x0x0 x*x* Случай 1 Случай 2 x x0x0 x*x* Случай 1 S(x)S(x) Случай 2 > 0 при x = x 0 – dx < 0 при x = x 0 + dx > 0 при x = x 0 – dx = 0 при x 0 < x < x * < 0 при x = x * + dx Условие минимума: ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ

1. Сосредоточенная подвижная нагрузка F F y F (x) Л.В. S y F,max y F,min x S F,max = F * y F,max S F,min = F * y F,min ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ

2. Подвижная полоса распределённой нагрузки q q S (x) Л.В. S x а S q,max = q * S,max S q,min = q * S,min ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ

3. Распределённая нагрузка q с произвольными разрывами q S q,max = q * S,max = q * S + S q,min = q * S,min = q * S – q q Л.В. S q q qqq Загружение на S max Загружение на S min

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ 4. Подвижная система параллельных сосредоточенных грузов Л.В. S F1F1 F2F2 … FnFn a1a1 a 2 … x x S(x) = F i * y Fi (x) S max S min Полигональная Л.В. S

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ 4. Подвижная система параллельных сосредоточенных грузов Полигональная Л.В. S F1F1 F2F2 … FnFn a1a1 a 2 … x S(x) = F i * y Fi … FiFi yF1yF1 yF2yF2 y Fi y Fn x F1F1 F2F2 … FnFn a1a1 a 2 … FiFi … dx dy Fi y Fi + dy Fi dy Fi dx i S(x) + dS(x) = [ F i * ( y Fi + d y Fi ) ]

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ 4. Подвижная система параллельных сосредоточенных грузов dy Fi dx i F i * dy Fi dy Fi = dx * tg i dS(x) = dx * F i * tg i ) dS(x) = [ F i * ( y Fi + d y Fi ) ] – F i * y Fi =

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ 4. Подвижная система параллельных сосредоточенных грузов Полигональная Л.В. S F1F1 F2F2 … FnFn x cr … F cr Груз, при расположении которого н ад вершиной линии влияния фактора S значение S от действия системы параллельных сосредоточенных грузов становится экстремальным ( S max или S min ), называется критическим грузом.

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ 4. Подвижная система параллельных сосредоточенных грузов Частный случай полигональной Л.В. S – треугольная … a x b l увув l r F1F1 F2F2 FnFn … F1F1 F2F2 … FnFn F cr … F l F r tg l = y в /atg r = – y в / b x cr

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ 4. Подвижная система параллельных сосредоточенных грузов F1F1 F2F2 … FnFn a x cr F cr … b l F l F r увув r l tg l = y в /atg r = – y в / b dx При x = x cr – dx : dS(x) = ( F l + F cr ) * tg l + + F r * tg r = = y в * [( F l + F cr ) /a – – F r / b ], dS(x) > 0 dx

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ 4. Подвижная система параллельных сосредоточенных грузов F1F1 F2F2 … FnFn a x cr F cr … b l F l F r увув r l tg l = y в /atg r = – y в / b dx При x = x cr + dx : dS(x) = F l * tg l + + ( F cr + F r ) * tg r = = y в * [ F l /a – – (F cr + F r )/ b ], dS(x) < 0 dx

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ 4. Подвижная система параллельных сосредоточенных грузов Критерий определения критического груза в случае треугольной линии влияния F2F2 … F1F1 … Графическая интерпретация критерия FnFn F1F1 F2F2 FnFn F cr параллельно

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ 4. Подвижная система параллельных сосредоточенных грузов Критерий определения критического груза в случае треугольной линии влияния F2F2 … F1F1 … Графическая интерпретация критерия FnFn F1F1 F2F2 FnFn F cr параллельно

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ 4. Подвижная система параллельных сосредоточенных грузов Критерий определения критического груза в случае треугольной линии влияния F2F2 … F1F1 … Критерий можно применить: FnFn F1F1 F2F2 FnFn F cr параллельно F2F2 F1F1 FnFn Критерий неприменим:

М а т р и ц ы в л и я н и я Задача: о пределить силовые факторы S 1, S 2,…, S i,…, S n от нагрузки, состоящей из сосредоточенных сил F 1, F 2,…, F j,…, F m. A B F1F1 F2F2 FjFj FmFm 12 Например, S 1 = R A, S 2 = Q 1, S i = M 2, S n = M B Л.В. S i y1iy1i y2iy2i y ji y mi Определение S i с помощью линии влияния: В матричной форме: S i = [ y 1i y 2i …y ji …y mi ] * Si матрица (строка) влияния силового фактора S i F матрица ( вектор ) нагрузок S i = Si * F Л.В. S 2 y 12 y 22 ym2ym2 Все искомые силовые факторы: S = S * F = S ( n x m ) S матрица влияния силовых факторов S Матрица влияния силовых факторов – это матрица, строки которой состоят из ординат линий влияния искомых силовых факторов в точках приложения сосредоточенных нагрузок. yj2yj2 ( M2 )( M2 ) ( Q1 )( Q1 )

М а т р и ц ы в л и я н и я Общий случай загружения ( сосредоточенные и распределённые, силовые и моментные нагрузки ) A B F1F1 F2F2 FjFj FmFm q A B F1yF1y F2yF2y F jy F mx qyqy x y qxqx F jx F2xF2x MM Разложение нагрузки на составляющие в общей системе координат Замена заданных нагрузок расчётными узловыми нагрузками ( сосредоточенными силами в расчётных точках загружения ) Расчетные точки загружения: 1. Границы дисков (узлы) 2. Места сечений с искомыми внутренними усилиями 3. Любые точки необходимые ; для СОС – и достаточные – дополнительные ( нужны для обеспечения требуемой точности при нелинейных Л.В. в СНС ) Способ приведения заданных нагрузок к расчётным точкам – статически эквивалентное преобразование в пределах расчётного участка j j + 1j + 1 j j + 1j + 1 j RjRj ajaj bjbj F j, j F j, j + 1 R j = y F(j) ; a j = m j,F(j) /R j Равнодействующая: эквивалентные расчётные узловые нагрузки ( в случае линейной Л.В. результат – точный )

М а т р и ц ы в л и я н и я Общий случай загружения ( сосредоточенные и распределённые, силовые и моментные нагрузки ) A B F1yF1y F2yF2y F jy F mx qyqy x y qxqx F jx F2xF2x M Разложение нагрузки на составляющие в общей системе координат Замена заданных нагрузок расчётными узловыми нагрузками ( сосредоточенными силами в расчётных точках загружения ) Расчётные точки загружения: 1. Границы дисков (узлы) 2. Места сечений с искомыми внутренними усилиями 3. Любые точки необходимые ; для СОС – и достаточные – дополнительные ( нужны для обеспечения требуемой точности при нелинейных Л.В. в СНС ) Способ приведения заданных нагрузок к расчётным точкам – статически эквивалентное преобразование в пределах расчётного участка j j + 1j + 1 j j + 1j + 1 j RjRj ajaj bjbj F j, j F j, j + 1 R j = y F(j) ; a j = m j,F(j) /R j Равнодействующая: эквивалентные расчётные узловые нагрузки S = S * F S = [ Sx Sy Sz ] От F x = 1 От F y = 1 От F z = 1 В общем случае пространственной системы ( в случае линейной Л.В. результат – точный )

М а т р и ц ы в л и я н и я Замена заданных нагрузок расчётными узловыми нагрузками Расчётные точки загружения и участки: R q = 60 П р и м е р 1 2 А 2 м 2 м q = 10 кН/м М = 20 кН * м F = 60 кН q F = q R 2 = q R 4 = q M R q = F 1,1 = 50F 2,1 = 70 F 2,2 = 16 F 3,2 = 4 F 3,3 = 0 F 4,3 = 0 F 7,6 = 0 F 7,5 = 25 F 6,5 = 15 F 6,4 = 10 F 5,4 = 10 F 8,6 = 0 F 1 = 50 F 2 = 86 F3= 4F3= 4 F 5 = 10 F4= 0F4= 0 F 6 = 25 F 7 = 25 F8= 0F8= 0 Вектор расчетных узловых нагрузок: Расчётные точки загружения

М а т р и ц ы в л и я н и я Формирование матрицы влияния искомых силовых факторов Расчётные точки загружения и участки: П р и м е р 1 2 А 2 м 2 м q = 10 кН/м М = 20 кН * м F = 60 кН Л.В. V A Л.В. M 1 Л.В. Q ,5 1, ,667 0,333 0,167 0,5 1 0, Расчётные точки загружения:

РАСЧЁТНЫЕ УСИЛИЯ И ОБЪЕМЛЮЩИЕ ЭПЮРЫ F Расчётным значением силового фактора S ( расчётным усилием ) называется его экстремальное ( максимальное S max или минимальное S min ) значение от совместного действия постоянной нагрузки и временных воздействий, каждое из которых занимает невыгоднейшее ( опасное ) – соответственно по максимуму или минимуму фактора S – положение на сооружении. q p F1F1 F2F2 F3F3 x xlxl xrxr Постоянная (const) нагрузка Временные (temp) нагрузки S const S temp S temp = S temp, i ( = S temp ( x, x l, x r ) ) График изменения расчётных усилий S max и S min по длине элементов ( или их объему – для нестержневых элементов ) называется объемлющей эпюрой силового фактора S. Объемлющая эпюра S ( эпюра S расч ) имеет две ветви – S max и S min ; которые являются границами области возможных значений силового фактора S ( значений S при произвольных положениях временных нагрузок ) : S max S min

РАСЧЁТНЫЕ УСИЛИЯ И ОБЪЕМЛЮЩИЕ ЭПЮРЫ Расчётным значением силового фактора S ( расчётным усилием ) называется его экстремальное ( максимальное S max или минимальное S min ) значение от совместного действия постоянной нагрузки и временных воздействий, каждое из которых занимает невыгоднейшее ( опасное ) – соответственно по максимуму или минимуму фактора S – положение на сооружении. M max M min А л г о р и т м определения расчётных усилий и построения объемлющей эпюры П р и м е р - иллюстрация F1F1 F2F2 F q p consttemp 1. Назначаются сечения 1, 2, …, j, …, m в которых будут определяться расчётные усилия ( расчётные сечения ). 2. В назначенных сечениях определяются усилия от постоянной нагрузки S j,const ( j = 1, 2, …, m ) – строится эпюра S const … … j … … m… m Эпюра M const M j, const M 2, const Построение объемлющей эпюры М 3. Строятся линии влияния усилий в назна- ченных сечениях – Л.В. S j ( j = 1, 2, …, m ). Л.В. M j 4. Каждая Л.В. S j ( j = 1, 2, …, m ) загружает- ся временными нагрузками на max и min усилия. Определяются S j, temp, max и S j, temp, min. F1F1 F2F2 F1F1 F2F2 p p p 5. Для каждого сечения ( j = 1, 2, …, m ) вычисляется пара расчётных значений S j, max и S j, min. 6. По найденным парам расчётных усилий во всех сечениях строится объемлющая эпюра S. Эпюра M расч M j, temp, max M j, temp, min M j, max M j, min

РАСЧЁТНЫЕ УСИЛИЯ И ОБЪЕМЛЮЩИЕ ЭПЮРЫ M max M min А л г о р и т м определения расчётных усилий и построения объемлющей эпюры П р и м е р - иллюстрация F1F1 F2F2 F q p consttemp 1. Назначаются сечения 1, 2, …, j, …, m в которых будут определяться расчётные усилия ( расчётные сечения ). 2. В назначенных сечениях определяются усилия от постоянной нагрузки S j,const ( j = 1, 2, …, m ) – строится эпюра S const … … j … … m… m Эпюра M const M j, const M 2, const Построение объемлющей эпюры М 3. Строятся линии влияния усилий в назна- ченных сечениях – Л.В. S j ( j = 1, 2, …, m ). Л.В. M j 4. Каждая Л.В. S j ( j = 1, 2, …, m ) загружает- ся временными нагрузками на max и min усилия. Определяются S j, temp, max и S j, temp, min. F1F1 F2F2 F1F1 F2F2 p p p 5. Для каждого сечения ( j = 1, 2, …, m ) вычисляется пара расчётных значений S j, max и S j, min. 6. По найденным парам расчётных усилий во всех сечениях строится объемлющая эпюра S. Эпюра M расч M j, temp, max M j, temp, min M j, max M j, min З а м е ч а н и е: д ля выполнения практических расчётов конструкций на прочность при сложном сопротивлении, кроме расчётных усилий (в первую очередь, изгибающих моментов), необходимы также возникающие одновременно с ними ( при той же комбинации воздействий ) другие силовые факторы – поперечные и продольные силы, а в пространственных системах также крутящие моменты: М расч Q соотв, N соотв

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках *) ; для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 32» ) 1. Какая операция называется загружением линии влияния? ( 2 )( 2 ) 2. По каким формулам с помощью линии влияния вычисляется силовой фактор S а) от сосредоточенной нагрузки F? ( 3 ) б) от сосредоточенного момента М? ( 4 )( 3 )( 4 ) в) от распределённой нагрузки q(x)? ( 5 ) г) от равномерно распределённой нагрузки? ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) 3. Правила знаков, используемые в операции загружения линии влияния – ? ( 6 )( 6 ) 4. Что такое статически эквивалентное преобразование нагрузок ( 7 )( 7 ) и как его можно использовать при загружении линий влияния? ( 8 )( 8 ) 5. Условие экстремума силового фактора S при действии подвижной нагрузки – ? ( 9 )( 9 ) 6. Как записываются условия максимума и минимума S в случае кусочно-линейной линии влияния? ( 10 )( 10 ) 7. Как определяются опасные положения подвижных нагрузок и соответствующие им экстремальные значения фактора S в случаях: а) одиночной сосредоточенной подвижной силы F? ( 11 )( 11 ) б) подвижной полосы равномерно распределённой нагрузки q? ( 12 )( 12 ) 8. Как располагается равномерно распределённая нагрузка q с произвольным разрывами при загружениях на максимум и минимум силового фактора S? ( 13 )( 13 ) 9. Критерий опасного положения подвижной системы параллельных сосредоточенных сил в случае полигональной линии влияния – ? ( 16 )( 16 ) 10. Что такое критический груз? ( 17 )( 17 ) 11. Критерий опасного положения подвижной системы параллельных сосредоточенных сил в случае треугольной линии влияния: а) аналитическое выражение критерия – ? ( 18–21 )( 18–21 ) б) графическая интерпретация критерия – ? ( 21, 22 )( 21, 22 ) 12. Каковы ограничения в использовании критерия определения критического груза при треугольной линии влияния? ( 23 )( 23 ) ____________________________________________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов»

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках *) ; для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 33» ) 13. По какой матричной формуле вычисляется совокупность ( вектор ) искомых силовых факторов S? ( 24 )( 24 ) 14. Что такое матрица влияния силовых факторов? ( 24 )( 24 ) Как она формируется ( смысл строк матрицы влияния )? ( 24 )( 24 ) 15. Какие величины включаются в вектор F при нагрузках, отличных от сосредоточенных сил? ( 25 )( 25 ) 16. По каким правилам назначаются расчётные точки загружения? ( 25 )( 25 ) 17. Как выполняется приведение заданных произвольных нагрузок к расчётным точкам загружения? ( 25 )( 25 ) 18. Если нагрузки на рассчитываемую систему изменяются, то нужно ли вносить изменения в матрицу влияния силовых факторов? ( 25 )( 25 ) 19. Какова структура матрицы влияния силовых факторов и вектора расчётных узловых нагрузок в случаях двух- и трёхмерных систем? ( 26 )( 26 ) 19. Что называется расчётными усилиями и как они вычисляются? ( 29 )( 29 ) 20. Какие усилия называются соответствующими расчётным усилиям? ( 31 )( 31 ) 21. Что такое объемлющая эпюра некоторого силового фактора? ( 29 )( 29 ) 21. По какому алгоритму осуществляется построение объемлющей эпюры? ( 30 )( 30 ) 22. Как по объемлющей эпюре определить область возможных значений силового фактора S? ( 29 )( 29 ) ___________________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов»